Portanto a substituição direta dá limite igual a 0. Isso significa que o limite existe e é 0. Porém o enunciado pediu para usar a regra de L’Hôpital — vou explicar quando e como isso pode (ou não) ser aplicado e mostrar uma maneira de usar L’Hôpital numa parcela conveniente.
Passo 3
Lembrete sobre a regra de L’Hôpital (mini-aula):
A regra de L’Hôpital é aplicável quando a forma da expressão ao fazer a substituição direta é uma indeterminação do tipo \tfrac{0}{0} ou \tfrac{\infty}{\infty}.
Se tiver uma indeterminação \tfrac{0}{0} (ou \tfrac{\infty}{\infty}), e as funções forem diferenciáveis nas proximidades, então
\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}
quando o limite do lado direito existir ou for \pm\infty.
Não se pode aplicar L’Hôpital se a forma não for uma dessas indeterminações.
No nosso caso, escrevendo a expressão como fração:
x^{2} e^{-x} = \frac{x^{2}}{e^{x}}.
Ao fazer x\to 0, o numerador tende a 0 e o denominador tende a 1. Isso não é uma indeterminação \tfrac{0}{0}: é \tfrac{0}{1}=0. Logo L’Hôpital não é necessário nem aplicável diretamente aqui — o limite já é 0.
Passo 4
Ainda assim, para obedecer ao pedido de usar L’Hôpital, podemos decompor a expressão em um produto onde uma fração apresenta a indeterminação \tfrac{0}{0}. Uma maneira útil é escrever
Para a primeira fração, \dfrac{x^{2}}{e^{x}-1}, tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0, então temos uma indeterminação \tfrac{0}{0} — podemos aplicar L’Hôpital aqui.
Para a segunda fração, \dfrac{e^{x}-1}{e^{x}}, ao substituir x=0 obtemos \dfrac{0}{1}=0 — esta tende a 0 de forma regular.
Passo 5
Aplicando L’Hôpital na primeira fração \dfrac{x^{2}}{e^{x}-1}:
Conclusão e observações finais (motivação e ânimo):
Resultado final: o limite é \,0.
Observação prática: aqui a substituição direta já dava 0, então L’Hôpital não era estritamente necessário. Mostrei uma forma de empregar L’Hôpital numa parte da decomposição para atender ao pedido. Tá certinho — e já era meio que esperado que o polinômio x^2 vence a exponencial próximo de 0 (o expoente é contínuo e tende a 1 quando negativo).