Calcule os limites usando L’Hóspetal
\lim _{x \rightarrow 0} x^{2} e^{-x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0} x^{2} e^{-x}.
Informações dadas:
  • A função a estudar é x^{2} e^{-x}.
  • O ponto onde o limite é calculado é x\to 0.
O que exatamente se pede:
  • Encontrar o valor numérico do limite quando x tende a 0.

Passo 2

Avaliação direta (teste inicial): substituir x=0 na expressão para ver se já dá o resultado.
x^{2} e^{-x}\big|_{x=0} = 0^{2} e^{0} = 0\cdot 1 = 0.
Portanto a substituição direta dá limite igual a 0. Isso significa que o limite existe e é 0. Porém o enunciado pediu para usar a regra de L’Hôpital — vou explicar quando e como isso pode (ou não) ser aplicado e mostrar uma maneira de usar L’Hôpital numa parcela conveniente.

Passo 3

Lembrete sobre a regra de L’Hôpital (mini-aula):
  • A regra de L’Hôpital é aplicável quando a forma da expressão ao fazer a substituição direta é uma indeterminação do tipo \tfrac{0}{0} ou \tfrac{\infty}{\infty}.
  • Se tiver uma indeterminação \tfrac{0}{0} (ou \tfrac{\infty}{\infty}), e as funções forem diferenciáveis nas proximidades, então
\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}
quando o limite do lado direito existir ou for \pm\infty.
  • Não se pode aplicar L’Hôpital se a forma não for uma dessas indeterminações.
No nosso caso, escrevendo a expressão como fração:
x^{2} e^{-x} = \frac{x^{2}}{e^{x}}.
Ao fazer x\to 0, o numerador tende a 0 e o denominador tende a 1. Isso não é uma indeterminação \tfrac{0}{0}: é \tfrac{0}{1}=0. Logo L’Hôpital não é necessário nem aplicável diretamente aqui — o limite já é 0.

Passo 4

Ainda assim, para obedecer ao pedido de usar L’Hôpital, podemos decompor a expressão em um produto onde uma fração apresenta a indeterminação \tfrac{0}{0}. Uma maneira útil é escrever
x^{2} e^{-x} = \frac{x^{2}}{e^{x}-1}\cdot\frac{e^{x}-1}{e^{x}}.
Verificação das partes ao ir para x\to 0:
  • Para a primeira fração, \dfrac{x^{2}}{e^{x}-1}, tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0, então temos uma indeterminação \tfrac{0}{0} — podemos aplicar L’Hôpital aqui.
  • Para a segunda fração, \dfrac{e^{x}-1}{e^{x}}, ao substituir x=0 obtemos \dfrac{0}{1}=0 — esta tende a 0 de forma regular.

Passo 5

Aplicando L’Hôpital na primeira fração \dfrac{x^{2}}{e^{x}-1}:
  • Diferenciando numerador e denominador:
    • (x^{2})' = 2x,
    • (e^{x}-1)' = e^{x}.
  • Pela regra de L’Hôpital,
\lim_{x\to 0} \frac{x^{2}}{e^{x}-1} = \lim_{x\to 0} \frac{2x}{e^{x}}.
Agora avaliar o novo limite por substituição direta:
\frac{2x}{e^{x}}\Big|_{x=0} = \frac{0}{1} = 0.
Portanto
\lim_{x\to 0} \frac{x^{2}}{e^{x}-1} = 0.

Passo 6

Avaliar a segunda fração \dfrac{e^{x}-1}{e^{x}}:
  • Podemos simplificar: \dfrac{e^{x}-1}{e^{x}} = 1 - e^{-x}.
  • Ao fazer x\to 0,
1 - e^{-x}\Big|_{x=0} = 1 - 1 = 0.
Logo
\lim_{x\to 0} \frac{e^{x}-1}{e^{x}} = 0.

Passo 7

Agora usar o fato de que, quando os limites das duas parcelas existem finitos, o limite do produto é o produto dos limites. Temos:
\lim_{x\to 0} x^{2} e^{-x} = \left(\lim_{x\to 0} \frac{x^{2}}{e^{x}-1}\right) \cdot \left(\lim_{x\to 0} \frac{e^{x}-1}{e^{x}}\right) = 0\cdot 0 = 0.

Passo 8

Conclusão e observações finais (motivação e ânimo):
  • Resultado final: o limite é \,0.
  • Observação prática: aqui a substituição direta já dava 0, então L’Hôpital não era estritamente necessário. Mostrei uma forma de empregar L’Hôpital numa parte da decomposição para atender ao pedido. Tá certinho — e já era meio que esperado que o polinômio x^2 vence a exponencial próximo de 0 (o expoente é contínuo e tende a 1 quando negativo).

Resposta

0

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