1- Calcule os limites usando os limites notáveis
lim x 1(ln x-sen(pi x)x-1)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do seguinte limite usando limites notáveis:
limxto1ln x - sin(pi x)x-1
O conteúdo envolvido é cálculo de limites em forma indeterminada tfrac00 e uso de expansões com os limites notáveis
limuto0ln(1+u)u=1 e
limuto0sin uu=1.

Passo 2

Verificamos que, ao aproximar x de 1,
ln xtoln1=0 e sin(pi x)tosinpi=0,
logo o quociente está em forma indeterminada tfrac00.
Podemos então fazer a substituição u=x-1, de modo que uto0 quando xto1.

Passo 3

Em termos de u temos x=1+u.
Aplicando o primeiro limite notável,
ln x = ln(1+u) = u + o(u)
Para sin(pi x) note que
pi x = pi + pi u e
sin(pi+pi u) = -sin(pi u).
Pelo segundo limite notável,
sin(pi u) = pi u + o(u),
então
sin(pi x) = -l(pi u + o(u)r) = -pi u + o(u)

Passo 4

Substituindo essas expansões no numerador do limite,
ln x - sin(pi x) = l(u + o(u)r) - l(-pi u + o(u)r) = (1+pi),u + o(u)
O denominador é x-1=u.
Logo o quociente fica
ln x - sin(pi x)x-1 = (1+pi),u + o(u)u longrightarrow 1+pi quando uto0

Resposta

1 + pi

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