Calcule os limites usando as propriedades
\lim _{(x, y) \rightarrow(1,-1)} e^{-x y} \sqrt{x}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(1,-1)} e^{-xy}\sqrt{x}
Vamos usar a continuidade das funções elementares e a propriedade de que o limite do produto é o produto dos limites (desde que existam).

Passo 2

Observamos que em torno de (1,-1) temos x>0, de modo que \sqrt{x} e e^{-xy} são contínuas nessa vizinhança. Logo podemos separar o limite do produto:
\lim_{(x,y)\to(1,-1)} e^{-xy}\sqrt{x} = \Bigl(\lim_{(x,y)\to(1,-1)} e^{-xy}\Bigr) \cdot \Bigl(\lim_{(x,y)\to(1,-1)} \sqrt{x}\Bigr).

Passo 3

Calculando cada limite:
Para e^{-xy}, como é contínua, basta substituir (x,y)=(1,-1):
\lim_{(x,y)\to(1,-1)} e^{-xy} = e^{-(1)\cdot(-1)} = e^1 = e.
Para \sqrt{x}, também contínua em x=1:
\lim_{(x,y)\to(1,-1)} \sqrt{x} = \sqrt{1} = 1.

Passo 4

Multiplicando os resultados:
e \cdot 1 = e.

Resposta

\lim_{(x,y)\to(1,-1)} e^{-xy}\sqrt{x} = e.

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