Calcule os limites usando as propriedades
\lim _{(x, y, z) \rightarrow(\pi, 0,1)} e^{y^{2}} \cos (x z)

Passo 1

O enunciado pede o limite da função
f(x,y,z) = e^{y^{2}}\cos(xz)
quando (x,y,z)\to(\pi,0,1). O que vamos usar é a propriedade de que o limite de um produto é o produto dos limites (quando existem) e a continuidade das funções e^{t} e \cos(t).

Passo 2

Pela propriedade do produto de limites,
\lim_{(x,y,z)\to(\pi,0,1)} e^{y^{2}}\cos(xz) = \Bigl(\lim_{(x,y,z)\to(\pi,0,1)} e^{y^{2}}\Bigr) \;\times\; \Bigl(\lim_{(x,y,z)\to(\pi,0,1)} \cos(xz)\Bigr).
Como e^{t} é contínua em t=0, temos
\lim_{(x,y,z)\to(\pi,0,1)} e^{y^{2}} = e^{\lim y^{2}} = e^{0} = 1.
E como \cos(t) é contínua em t=\pi e
\lim_{(x,y,z)\to(\pi,0,1)} xz = \pi\cdot1 = \pi,
segue
\lim_{(x,y,z)\to(\pi,0,1)} \cos(xz) = \cos(\pi) = -1.

Passo 3

Multiplicando os resultados parciais, obtemos
1 \times (-1) = -1.

Resposta

-1

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