Verifique que o limite não existe calculando os limites através de duas curvas que passam pelo ponto \left(x_{0}, y_{0}\right).
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{4}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{4}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}
não existe, calculando-o ao longo de duas curvas diferentes que passam por (0,0). A ideia é usar o fato de que, em várias variáveis, se dois caminhos dão limites diferentes, o limite geral não existe.

Passo 2

Considere a curva y=0. Substituindo em \frac{x^{4}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} temos
\frac{x^{4}-0^{2}}{x^{2}+0^{2}} =\frac{x^{4}}{x^{2}} =x^{2}.
Tomando x\to0 resulta
\lim_{x\to0}x^{2}=0.

Passo 3

Agora considere a curva x=0. Substituindo em \frac{x^{4}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} obtemos
\frac{0^{4}-y^{2}}{0^{2}+y^{2}} =\frac{-\,y^{2}}{y^{2}} =-1.
Tomando y\to0 resulta
\lim_{y\to0}(-1)=-1.

Passo 4

Como o limite ao longo de y=0 é 0 e ao longo de x=0 é -1, os dois resultados são distintos. Portanto, não há um único valor para o limite conforme (x,y) se aproxima de (0,0).

Resposta

O limite não existe.

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