Calcule os limites, usando o valor 1000 para o símbolo infty
lim x 9 3 x^4-27 x^3+9 x^2-81 xx^3-9 x^2+8 x-72

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxto 93x^4-27x^3+9x^2-81xx^3-9x^2+8x-72
O conteúdo é limite de função racional que dá forma indeterminada tfrac00. Vamos usar o teste de substituição para identificar a indeterminação e depois fatorar polinômios para eliminar o fator comum.

Passo 2

Verificamos a forma substituindo x=9 em numerador e denominador:
3cdot 9^4-27cdot 9^3+9cdot 9^2-81cdot 9 =3l(9^4-9cdot 9^3+3cdot 9^2-27cdot 9r)=0,
9^3-9cdot 9^2+8cdot 9-72 =9^3-9cdot 9^2+8cdot 9-72=0
Logo temos indeterminação tfrac00.

Passo 3

Para eliminar a indeterminação, fatoramos numerador e denominador. No numerador, fator comum 3x:
3x^4-27x^3+9x^2-81x =3xl(x^3-9x^2+3x-27r)
O polinômio x^3-9x^2+3x-27 agrupa em
x^2(x-9)+3(x-9)=(x-9)(x^2+3)
Portanto
Num =3x,(x-9)(x^2+3)
No denominador, agrupamos:
x^3-9x^2+8x-72 =x^2(x-9)+8(x-9)=(x-9)(x^2+8)

Passo 4

Substituímos as fatorações na razão original:
3x^4-27x^3+9x^2-81xx^3-9x^2+8x-72 =3x,(x-9)(x^2+3)(x-9)(x^2+8)
Como xneq 9 na vizinhança do limite, podemos cancelar o fator (x-9):
3x,(x^2+3)x^2+8

Passo 5

Agora o limite é contínuo, basta substituir x=9:
limxto 93x,(x^2+3)x^2+8 =3cdot 9l(9^2+3r)9^2+8 =27cdot (81+3)81+8 =27cdot 8489 =226889

Resposta

226889

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