Exercício 37. Mostre que cada uma das equações a seguir define implicitamente pelo menos uma função diferenciável z=z(x, y). Expresse partial zpartial x e partial zpartial y em termos de x, y e z.
e x^+ y^+ z+x y z=1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação
e^x + y + z + x,y,z - 1 = 0
define localmente uma função diferenciável z = z(x,y) e, em seguida, expressar partial zpartial x e partial zpartial y em termos de x,y,z. Vamos usar o Teorema da Função Implícita e depois fazer diferenciação implícita para obter as derivadas parciais.

Passo 2

Defina
F(x,y,z) = e^x + y + z + x,y,z - 1
Para aplicar o Teorema da Função Implícita precisamos que
partial Fpartial z(x,y,z) neq 0
Calculando,
partial Fpartial z = 1 + x,y
Como 1 + x,y não se anula (exceto em pontos onde xy=-1, que podemos evitar), concluímos que existe, em torno de cada ponto com 1+xyneq0, uma função diferenciável z(x,y) tal que F(x,y,z(x,y))=0.

Passo 3

Diferencie implicitamente F(x,y,z(x,y))=0 em relação a x. Temos
partial Fpartial x + partial Fpartial z,partial zpartial x = 0
Como
partial Fpartial x = e^x + y,z, partial Fpartial z = 1 + x,y,
segue
e^x + y,z + (1 + x,y),partial zpartial x = 0 Longrightarrow partial zpartial x = -e^x + y,z1 + x,y

Passo 4

Agora diferencie F(x,y,z(x,y))=0 em relação a y. Obtemos
partial Fpartial y + partial Fpartial z,partial zpartial y = 0
Como
partial Fpartial y = 1 + x,z, partial Fpartial z = 1 + x,y,
segue
1 + x,z + (1 + x,y),partial zpartial y = 0 Longrightarrow partial zpartial y = -1 + x,z1 + x,y

Resposta

partial zpartial x = -e^x + y,z1 + x,y, partial zpartial y = -1 + x,z1 + x,y

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