Exercício 37. Mostre que cada uma das equações a seguir define implicitamente pelo menos uma função diferenciável
. Expresse
e
em termos de
e
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação
define localmente uma função diferenciável
e, em seguida, expressar
e
em termos de
. Vamos usar o Teorema da Função Implícita e depois fazer diferenciação implícita para obter as derivadas parciais.
Passo 2
Defina
Para aplicar o Teorema da Função Implícita precisamos que
Calculando,
Como
não se anula (exceto em pontos onde
, que podemos evitar), concluímos que existe, em torno de cada ponto com
, uma função diferenciável
tal que
.
Passo 3
Diferencie implicitamente
em relação a
. Temos
Como
segue
Passo 4
Agora diferencie
em relação a
. Obtemos
Como
segue