Calcule os limites. Use preferencialmente uma mudança de variável.
lim x 0^+ x arctan (1x)

Passo 1

O limite em questão é limxto0^+ xarctanl(1/xr). Isso envolve cálculo de limite com mudança de variável e o uso do comportamento assintótico da função arctan.

Passo 2

Para simplificar, fazemos a mudança de variável
Definimos
t = 1x
Como xto0^+, temos tto+infty.

Passo 3

Reescrevemos a expressão do limite em termos de t:
xarctanl(1/xr) = 1t,arctan(t) = arctan(t)t

Passo 4

Agora analisamos o comportamento de arctan(t)t quando tto+infty:
Sabemos que arctan(t) cresce até pi/2 quando t fica grande, ou seja,
limtto+inftyarctan(t)=pi2
Logo o numerador tende a uma constante e o denominador cresce sem limite.

Passo 5

Aplicamos o teorema do confronto: para t>0 vale
0<=arctan(t)t<=pi/2t
Como
limtto+inftypi/2t=0,
o limite desejado também é zero.

Resposta

0

Exercícios relacionados