Calcule os limites. Use preferencialmente uma mudança de variável.
lim x 0 sen(1+x)x^2-1

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite limxto0sin(1+x)x^2-1. O conteúdo envolve limites de funções contínuas e mudança de variável para simplificar a expressão.

Passo 2

Como tanto a função sin(u) quanto o polinômio x^2-1 são contínuos em torno de x=0 e o denominador não zera nesse ponto, podemos usar a técnica de mudança de variável. Definimos t = 1 + x, de modo que quando xto0 temos tto1. Reescrevendo o limite em termos de t obtemos
sin(1+x)x^2-1 = sin(t)(t-1)^2 - 1

Passo 3

Agora simplificamos o denominador:
(t-1)^2 - 1 = t^2 - 2t + 1 - 1 = t(t-2)
Portanto o limite fica
limtto1 sin(t)t(t-2) = sin(1)1cdot(1-2) = -sin(1)

Resposta

-\sin(1)

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