Considere a função f(x, y)=raizx^2+y^2-1. Faça um estudo das curvas de nível de f.

Passo 1

Bora lá: o enunciado quer que a gente estude as curvas de nível da função f(x,y)=raizx^2+y^2-1. O que são curvas de nível? São os conjuntos de pontos (x,y) em que f(x,y)=c, para cada valor real c. Precisamos achar essa equação e interpretar geometricamente.

Passo 2

Começamos impondo f(x,y)=c, ou seja raizx^2 + y^2 - 1 = c. Assim temos raizx^2+y^2 = c+1.

Passo 3

Agora elevamos ao quadrado. Como a raiz quadrada só faz sentido se o lado direito é ≥0, isso exige c+1>=0, ou seja c>= -1. Então, ao quadrado, obtemos:
x^2+y^2 = (c+1)^2

Passo 4

Geometricamente, a equação x^2 + y^2 = (c+1)^2 descreve uma circunferência de centro na origem e raio |c+1|. Mas, pelo requisito c+1>=0, o raio é c+1. Logo, para cada c>= -1, a curva de nível é essa circunferência. Para c=-1, o raio é zero (um ponto na origem). Para c<-1, não existe curva de nível (conjunto vazio).

Resposta

As curvas de nível de f(x,y)=raizx^2+y^2-1 são as circunferências de centro em (0,0) e raio c+1, definidas somente para c>=-1. Para c=-1 a curva reduz-se ao ponto (0,0) e, para c< -1, o conjunto nível é vazio.

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