Calcule os limites sem utilizar a regra do L’Hôpital.
Passo 1
O enunciado pede calcular
. Informações dadas:
- A função é a razão
. - O ponto de interesse é
. - Se fizermos substituição direta: o numerador tende a
e o denominador tende a . Ou seja, numerador não nulo e denominador tende a zero — isso indica que a função pode divergir para ou dependendo do sinal ao aproximar por cada lado. A resolução começa agora.
Passo 2
Vamos fatorar numerador e denominador para entender melhor a estrutura algébrica.
A fatoração da diferença de cubos é
Aplicando com
e
obtemos
O polinômio quadrático do denominador fatoriza facilmente (procura dois números cujo produto é
e soma é
):
Passo 3
Reescrevendo a função com as fatorações:
Observe que não há cancelamento do fator
— ou seja, o numerador não tem o fator
. Ao nos aproximarmos de
temos os limites pontuais:
Portanto, perto de
a função comporta-se como uma constante dividida por
. Mais precisamente, para
próximo de
,
Explicando a ideia: quando o numerador tende a uma constante não nula
e o denominador tem um fator simples
que tende a zero, a razão tem comportamento assintótico proporcional a
e, portanto, diverge ao aproximar
.
Passo 4
Agora analisamos os limites laterais usando o comportamento aproximado
.
- Para
(pela esquerda) tem-se e muito pequeno em módulo, então . Multiplicando por dá
- Para
(pela direita) tem-se e muito pequeno, então . Multiplicando por dá
Os sinais opostos aparecem porque o numerador tende a um número negativo (
) enquanto o fator dominante do denominador muda de sinal ao cruzar
.
Passo 5
Conclusão final: as duas tiras laterais divergem para sinais opostos, então o limite bilateral em
não existe (não existe limite finito nem infinidade com mesmo sinal dos dois lados).