Calcule os limites sem utilizar a regra do L’Hôpital.
\lim _{x \rightarrow-1} \frac{x^{3}-1}{x^{2}+4 x+3}

Passo 1

O enunciado pede calcular \lim_{x\to-1} \dfrac{x^{3}-1}{x^{2}+4x+3}. Informações dadas:
  • A função é a razão \dfrac{x^{3}-1}{x^{2}+4x+3}.
  • O ponto de interesse é x=-1.
  • Se fizermos substituição direta: o numerador tende a (-1)^{3}-1=-2 e o denominador tende a (-1)^{2}+4(-1)+3=0. Ou seja, numerador não nulo e denominador tende a zero — isso indica que a função pode divergir para +\infty ou -\infty dependendo do sinal ao aproximar por cada lado. A resolução começa agora.

Passo 2

Vamos fatorar numerador e denominador para entender melhor a estrutura algébrica.
A fatoração da diferença de cubos é
a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}).
Aplicando com a=x e b=1 obtemos
x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1).
O polinômio quadrático do denominador fatoriza facilmente (procura dois números cujo produto é 3 e soma é 4):
x^{2}+4x+3=(x+1)(x+3).

Passo 3

Reescrevendo a função com as fatorações:
\frac{x^{3}-1}{x^{2}+4x+3}=\frac{(x-1)(x^{2}+x+1)}{(x+1)(x+3)}.
Observe que não há cancelamento do fator (x+1) — ou seja, o numerador não tem o fator (x+1). Ao nos aproximarmos de x=-1 temos os limites pontuais:
\lim_{x\to-1}(x^{2}+x+1)=(-1)^{2}+(-1)+1=1-1+1=1, \qquad \lim_{x\to-1}(x-1)=-2, \qquad \lim_{x\to-1}(x+3)=2.
Portanto, perto de x=-1 a função comporta-se como uma constante dividida por (x+1). Mais precisamente, para x próximo de -1,
\frac{x^{3}-1}{x^{2}+4x+3}\approx\frac{-2}{2(x+1)}=\frac{-1}{x+1}.
Explicando a ideia: quando o numerador tende a uma constante não nula c e o denominador tem um fator simples (x+1) que tende a zero, a razão tem comportamento assintótico proporcional a 1/(x+1) e, portanto, diverge ao aproximar x=-1.

Passo 4

Agora analisamos os limites laterais usando o comportamento aproximado \dfrac{-1}{x+1}.
  • Para x\to-1^{-} (pela esquerda) tem-se x+1<0 e muito pequeno em módulo, então \dfrac{1}{x+1}\to -\infty. Multiplicando por -1
\lim_{x\to-1^{-}}\frac{x^{3}-1}{x^{2}+4x+3}=+\infty.
  • Para x\to-1^{+} (pela direita) tem-se x+1>0 e muito pequeno, então \dfrac{1}{x+1}\to +\infty. Multiplicando por -1
\lim_{x\to-1^{+}}\frac{x^{3}-1}{x^{2}+4x+3}=-\infty.
Os sinais opostos aparecem porque o numerador tende a um número negativo ( -2) enquanto o fator dominante do denominador muda de sinal ao cruzar x=-1.

Passo 5

Conclusão final: as duas tiras laterais divergem para sinais opostos, então o limite bilateral em x=-1 não existe (não existe limite finito nem infinidade com mesmo sinal dos dois lados).

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to-1}\frac{x^{3}-1}{x^{2}+4x+3} não existe.
\displaystyle \lim_{x\to-1^{-}}\frac{x^{3}-1}{x^{2}+4x+3}=+\infty
\displaystyle \lim_{x\to-1^{+}}\frac{x^{3}-1}{x^{2}+4x+3}=-\infty

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