Calcule :
L\left\{t^{2}-3 t+2\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=t^{2}-3t+2.
O conteúdo aqui é transformada de Laplace de polinômios, que se baseia nas fórmulas para L\{t^n\} e L\{1\} e no princípio da linearidade.

Passo 2

Por definição,
L\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)\,e^{-st}\,dt,
mas, na prática, usamos as fórmulas prontas e a linearidade:
L\{t^n\}=\frac{n!}{s^{n+1}},\quad L\{1\}=\frac{1}{s},
L\{a\,f(t)+b\,g(t)\}=a\,L\{f(t)\}+b\,L\{g(t)\}.

Passo 3

Aplicando a linearidade em f(t)=t^2-3t+2, obtemos
L\{t^{2}-3t+2\} = L\{t^{2}\}-3\,L\{t\}+2\,L\{1\}.

Passo 4

Usando as fórmulas básicas:
L\{t^{2}\}=\frac{2!}{s^{3}}=\frac{2}{s^{3}},\quad L\{t\}=\frac{1!}{s^{2}}=\frac{1}{s^{2}},\quad L\{1\}=\frac{1}{s}.
Substituindo,
L\{t^{2}-3t+2\} =\frac{2}{s^{3}}-3\,\frac{1}{s^{2}}+2\,\frac{1}{s} =\frac{2}{s^{3}}-\frac{3}{s^{2}}+\frac{2}{s}.
Juntando tudo em uma única fração,
\frac{2}{s^{3}}-\frac{3}{s^{2}}+\frac{2}{s} =\frac{2-3s+2s^{2}}{s^{3}} =\frac{2s^{2}-3s+2}{s^{3}}.

Resposta

L\{t^{2}-3t+2\}(s) =\frac{2}{s^{3}}-\frac{3}{s^{2}}+\frac{2}{s} =\frac{2s^{2}-3s+2}{s^{3}}.

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