Calcule.
Ln(1-j)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o logaritmo complexo Ln(1 - j). Vamos usar o conteúdo de logaritmo de número complexo, que diz que
Então precisamos achar o módulo e o argumento de Ln(z) = ln|z| + j,Arg(z) .

Passo 2

Primeiro achamos o módulo de 1 - j. O módulo de um número complexo x + jy é
|x + jy| = raizx^2 + y^2
Aplicando em 1 - j:
|1 - j| = raiz1^2 + (-1)^2 = raiz2

Passo 3

Agora determinamos o argumento principal de 1 - j. Para um ponto (x,y) no plano, levando em conta o quadrante. Aqui Arg(x+jy)=arctan(y/x) e x=1>0, estamos no quarto quadrante, então
y=-1<0

Passo 4

Por fim, aplicamos a fórmula do logaritmo complexo:
Ln(1 - j) = ln|1 - j| + j,arg(1 - j)
Substituindo |1 - j|=raiz2 e arg(1 - j)=-pi/4 temos
Ln(1 - j) = lnl(raiz2r) + jl(-pi4r) = 12ln2 - jpi4

Passo 5

Essa expressão é a forma principal (com k=0) do logaritmo complexo de 1 - j.

Resposta

Ln(1 - j) = tfrac12ln2 - j,tfracpi4

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