Encontre uma solução particular para as equaçÔes abaixo.
y^prime prime prime-y^prime prime+y=sen t

Passo 1

O problema pede para encontrar uma solução particular para a EDO linear de terceira ordem com coeficientes constantes e termo forçante sen t. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Para o forçante sen t, propomos uma solução do tipo y_p(t)=A cos t + B sin t, onde A e B são constantes a determinar. Antes de aplicar, precisamos checar se não há ressonância com a solução homogênea.

Passo 3

A equação característica da parte homogênea é r^3 − r^2 + 1 = 0. Testando r = i, temos i^3 − i^2 + 1 = −i − (−1) + 1 = 2 − i ≠ 0 (e o mesmo vale para r = −i). Logo, não há ressonância e nossa proposta é válida.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_p:
yp = Acos t + Bsin t
yp' = -Asin t + Bcos t
yp'' = -Acos t - Bsin t
yp''' = Asin t - Bcos t

Passo 5

Substituímos na equação y_p’’’ − y_p’’ + y_p = sen t e obtemos
(Asin t - Bcos t) - (-Acos t - Bsin t) + (Acos t + Bsin t) = (2A - B)cos t + (A + 2B)sin t
Isso deve ser igual a 0·cos t + 1·sin t, gerando o sistema
2A - B = 0,
A + 2B = 1

Passo 6

Resolvendo o sistema: de 2A−B=0 segue B=2A. Substituindo em A+2B=1 dá A+4A=5A=1 ⇒ A=1/5 e B=2/5. Portanto,
a solução particular é y_p(t)=\frac{1}{5}\cos t + \frac{2}{5}\sin t.

Resposta

y_p(t)=\frac{1}{5}\cos t + \frac{2}{5}\sin t

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