Encontre uma solução particular para as equaçÔes abaixo.
Passo 1
O problema pede para encontrar uma solução particular para a EDO linear de terceira ordem com coeficientes constantes e termo forçante sen t. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados.
Passo 2
Para o forçante sen t, propomos uma solução do tipo y_p(t)=A cos t + B sin t, onde A e B são constantes a determinar. Antes de aplicar, precisamos checar se não há ressonância com a solução homogênea.
Passo 3
A equação característica da parte homogênea é r^3 − r^2 + 1 = 0. Testando r = i, temos i^3 − i^2 + 1 = −i − (−1) + 1 = 2 − i ≠ 0 (e o mesmo vale para r = −i). Logo, não há ressonância e nossa proposta é válida.
Passo 4
Calculamos as derivadas de y_p:
Passo 5
Substituímos na equação y_p’’’ − y_p’’ + y_p = sen t e obtemos
Isso deve ser igual a 0·cos t + 1·sin t, gerando o sistema
Passo 6
Resolvendo o sistema: de 2A−B=0 segue B=2A. Substituindo em A+2B=1 dá A+4A=5A=1 ⇒ A=1/5 e B=2/5. Portanto,
a solução particular é y_p(t)=\frac{1}{5}\cos t + \frac{2}{5}\sin t.
a solução particular é y_p(t)=\frac{1}{5}\cos t + \frac{2}{5}\sin t.
Resposta
y_p(t)=\frac{1}{5}\cos t + \frac{2}{5}\sin t