Verifique se as séries abaixo são convergentes ou não e obtenha sua soma quando forem convergentes.
sumn=0^+infty 3^n-1 raiz52^2 n 3^n / 2

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série sumn=0^inftyan com an=3^n-1raiz52^2n3^n/2. O conteúdo envolve séries geométricas e teste da razão, e vamos precisar simplificar o termo geral e identificar uma razão comum.

Passo 2

Vamos simplificar an. Note que 3^n-1/3^n/2=3^n-1-n/2=3^n/2-1 e 2^2n=4^n. Assim
an=raiz5,3^n/2-14^n=raiz5,3^-1l(3^1/24r)^n=raiz53l(raiz34r)^n

Passo 3

Isso mostra que a série é geométrica de primeiro termo a0=raiz53 e razão r=raiz34. Como |r|=raiz34<1, a série converge.

Passo 4

A soma de uma série geométrica com |r|<1 é S=a01-r. Substituindo
S=raiz531-raiz34=raiz53cdot44-raiz3=4raiz53(4-raiz3)

Passo 5

Para apresentar em forma racionalizada do denominador multiplicamos numerador e denominador por 4+raiz3:
S=4raiz5,(4+raiz3)3l((4)^2-(raiz3)^2r)=4raiz5,(4+raiz3)3(16-3)=4raiz5,(4+raiz3)39

Resposta

sumn=0^infty3^n-1raiz52^2n3^n/2=4raiz5,(4+raiz3)39

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