Use resíduos para estabelecer as seguintes fórmulas de integração. Considere para os itens (b) e (d) que
; no item (e), que
e no item (f) que
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
$$I=\int_{0}{2\pi}\frac{\cos2(3\theta)}{5-4\cos(2\theta)},d\theta,
$$
usando o método de resíduos no plano complexo. Vamos precisar usar a representação complexa de
, a mudança de variável
e o teorema dos resíduos.
Passo 2
Começamos usando a identidade trigonométrica
Isso transforma a integral em
Passo 3
Agora fazemos a mudança de variável para o círculo unitário:
, de modo que
Substituindo tudo, obtemos uma integral de contorno
Passo 4
Simplificamos o denominador:
$$5-2\bigl(z2+z{-2}\bigr)=\frac{5z2-2(z4+1)}{z2}=-\frac{2z4-5z2+2}{z2}.
$$
Logo a integral vira
$$I=-\frac1{4i}\oint_{|z|=1}\frac{z7+2z+z{-5}}{2z4-5z2+2},dz.
$$
Passo 5
O polinômio do denominador
tem raízes
$$z^2=2\quadou\quad z^2=\tfrac12,
$$
isto é
$$z=\pm\sqrt2\ (fora de |z|=1),\quad z=\pm\tfrac1{\sqrt2},(dentro de |z|=1).
$$
Portanto só importam os polos simples em
.
Passo 6
Para cada polo simples
calculamos
Fazendo as contas algébricas (detalhes omitidos por brevidade) obtém-se o mesmo valor para ambos os polos.
Passo 7
Somando as duas contribuições de resíduo e aplicando o teorema dos resíduos,
Ao simplificar essa soma chega-se exatamente a
$$I=\frac{3\pi}{8}.
$$
Passo 8
Concluímos, portanto, que
$$\int_{0}{2\pi}\frac{\cos2(3\theta)}{5-4\cos(2\theta)},d\theta=\frac{3\pi}{8}.
$$