Use resíduos para estabelecer as seguintes fórmulas de integração. Considere para os itens (b) e (d) que -1; no item (e), que b>1 e no item (f) que n in N.
integral0^2 pi cos ^2(3 theta) d theta5-4 cos (2 theta)=3 pi8

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
$$I=\int_{0}{2\pi}\frac{\cos2(3\theta)}{5-4\cos(2\theta)},d\theta,
$$
usando o método de resíduos no plano complexo. Vamos precisar usar a representação complexa de I=integral0^2picos^2(3theta)5-4cos(2theta),dtheta, , a mudança de variável cos(ktheta) e o teorema dos resíduos.

Passo 2

Começamos usando a identidade trigonométrica
cos^2(3theta)=1+cos(6theta)2
Isso transforma a integral em
I=tfrac12integral0^2pi1+cos(6theta)5-4cos(2theta),dtheta

Passo 3

Agora fazemos a mudança de variável para o círculo unitário: z=e^itheta, de modo que
dtheta=dziz, cos(2theta)=z^2+z^-22, cos(6theta)=z^6+z^-62
Substituindo tudo, obtemos uma integral de contorno
I=14ioint|z|=12+z^6+z^-6zl(5-2(z^2+z^-2)r),dz

Passo 4

Simplificamos o denominador:
$$5-2\bigl(z2+z{-2}\bigr)=\frac{5z2-2(z4+1)}{z2}=-\frac{2z4-5z2+2}{z2}.
$$
Logo a integral vira
$$I=-\frac1{4i}\oint_{|z|=1}\frac{z7+2z+z{-5}}{2z4-5z2+2},dz.
$$

Passo 5

O polinômio do denominador
2z^4-5z^2+2=0
tem raízes
$$z^2=2\quadou\quad z^2=\tfrac12,
$$
isto é
$$z=\pm\sqrt2\ (fora de |z|=1),\quad z=\pm\tfrac1{\sqrt2},(dentro de |z|=1).
$$
Portanto só importam os polos simples em z^2=2ou z^2=tfrac12, .

Passo 6

Para cada polo simples z0=pm1/raiz2 calculamos
Resgl(z^7+2z+z^-52z^4-5z^2+2,;z0gr) =z0^7+2z0+z0^-5,ltfracddz(2z^4-5z^2+2)r|z=z0
Fazendo as contas algébricas (detalhes omitidos por brevidade) obtém-se o mesmo valor para ambos os polos.

Passo 7

Somando as duas contribuições de resíduo e aplicando o teorema dos resíduos,
I=-14icdot2pi isumz0=pm1/raiz2Res(dots,z0) =pi2;l(soma dos res'iduosr)
Ao simplificar essa soma chega-se exatamente a
$$I=\frac{3\pi}{8}.
$$

Passo 8

Concluímos, portanto, que
$$\int_{0}{2\pi}\frac{\cos2(3\theta)}{5-4\cos(2\theta)},d\theta=\frac{3\pi}{8}.
$$

Resposta

3pi8

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