Calcule os logaritmos:
\log _{\frac{1}{5}} 125

Passo 1

O enunciado pede para calcular \log_{\frac{1}{5}}125. Aqui vamos usar definições de logaritmo e propriedade de potências para resolver.

Passo 2

Defina
x = \log_{\frac{1}{5}}125
pela definição de logaritmo, isso significa que
\bigl(\tfrac{1}{5}\bigr)^x = 125.

Passo 3

Escreva ambos os lados como potências de 5. Como \tfrac{1}{5}=5^{-1}, tem-se
\bigl(\tfrac{1}{5}\bigr)^x = (5^{-1})^x = 5^{-x},
e como 125=5^3, a equação fica
5^{-x} = 5^3.

Passo 4

Igualando expoentes (já que a base 5 é a mesma e diferente de zero), obtemos
-\,x = 3
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x = -3.

Resposta

-3

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