Questão 2. Calcule e indique (justificando) em cada caso o método ou resultado utilizado:
(1,0 ponto) \int \frac{x^{2}}{3 \sqrt{x^{2}+4}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I = \int \frac{x^{2}}{3\sqrt{x^{2}+4}}\,dx.
O conteúdo envolvido são técnicas de integração: devemos reescrever o integrando de modo a usar integrais padrões de \displaystyle \int \sqrt{x^{2}+a^{2}}\,dx
e \displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}\,dx.

Passo 2

Fatoramos 1/3 e escrevemos
\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+4}} =\frac{x^{2}+4-4}{\sqrt{x^{2}+4}} =\sqrt{x^{2}+4}\;-\;\frac{4}{\sqrt{x^{2}+4}}.
Então
I = \frac{1}{3}\int\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+4}}\,dx =\frac{1}{3}\int\sqrt{x^{2}+4}\,dx \;-\;\frac{4}{3}\int\frac{1}{\sqrt{x^{2}+4}}\,dx.

Passo 3

Usamos a fórmula padrão
\int \sqrt{x^{2}+a^{2}}\,dx =\frac{x}{2}\sqrt{x^{2}+a^{2}} +\frac{a^{2}}{2}\ln\bigl|x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\bigr| +C.
Aqui a=2, logo
\int \sqrt{x^{2}+4}\,dx =\frac{x}{2}\sqrt{x^{2}+4} +2\ln\bigl|x+\sqrt{x^{2}+4}\bigr| + C_{1}.

Passo 4

Usamos também
\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}\,dx =\ln\bigl|x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\bigr| + C.
Para a=2,
\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+4}}\,dx =\ln\bigl|x+\sqrt{x^{2}+4}\bigr| + C_{2}.

Passo 5

Substituindo esses resultados em I:
I =\frac{1}{3}\Bigl[\frac{x}{2}\sqrt{x^{2}+4}+2\ln|x+\sqrt{x^{2}+4}|\Bigr] -\frac{4}{3}\Bigl[\ln|x+\sqrt{x^{2}+4}|\Bigr]+C.
Distributindo e combinando os logaritmos, obtemos
I =\frac{x}{6}\sqrt{x^{2}+4} +\frac{2}{3}\ln|x+\sqrt{x^{2}+4}| -\frac{4}{3}\ln|x+\sqrt{x^{2}+4}|+C =\frac{x}{6}\sqrt{x^{2}+4} -\frac{2}{3}\ln\bigl|x+\sqrt{x^{2}+4}\bigr|+C.

Resposta

\int \frac{x^{2}}{3\sqrt{x^{2}+4}}\,dx =\frac{x}{6}\sqrt{x^{2}+4} -\frac{2}{3}\ln\bigl|x+\sqrt{x^{2}+4}\bigr|+C.

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