Calcule os logaritmos:
\log _{2}\left(\sqrt{2^{3}}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o valor de \log_{2}\left(\sqrt{2^{3}}\right).
Informações dadas:
  • A expressão a ser avaliada é \log_{2}\left(\sqrt{2^{3}}\right).
  • Não há outras informações externas necessárias.

Passo 2

Transformar a raiz em potência fraccionária. Lembre que a raiz quadrada é a potência 1/2, isto é, \sqrt{x}=x^{1/2}. Aplicando isso ao interior:
\sqrt{2^{3}}=(2^{3})^{1/2}.
Usa-se agora a lei das potências: (a^{m})^{n}=a^{mn}. Aplicando aqui:
(2^{3})^{1/2}=2^{3\cdot(1/2)}=2^{3/2}.

Passo 3

Usar a propriedade do logaritmo que diz que o logaritmo da potência da base é o expoente. Mais formalmente:
\log_{b}\!\left(b^{k}\right)=k,
porque o logaritmo responde “qual expoente dou à base b para obter b^{k}?” — a resposta é k. Aplicando ao nosso caso, com base 2 e argumento 2^{3/2}:
\log_{2}\left(2^{3/2}\right)=\frac{3}{2}.

Passo 4

Interpretação numérica: \dfrac{3}{2}=1{,}5. Então o resultado em forma de fração é \dfrac{3}{2}.

Resposta

\dfrac{3}{2}

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