Considere a função
e determine a inclinação da reta tangente ao gráfico da função em
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a inclinação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto em que
.
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto onde queremos a inclinação é
.
O que é pedido:
- A inclinação da reta tangente ao gráfico de
no ponto com abscissa .
Passo 2
Conceito essencial (explicado passo a passo, sem pular etapas): a inclinação da reta tangente ao gráfico de uma função num ponto é o valor da derivada da função naquele ponto.
Definição rápida da derivada (intuição): a derivada
é o limite do coeficiente angular das secantes quando dois pontos da curva se aproximam, isto é
Na prática de prova usa-se regras de derivação que vêm diretamente desse limite e tornam os cálculos rápidos.
Regras que vamos usar (com explicação):
- Regra da soma e da constante:
. Se uma parcela tem uma constante multiplicando, . - Derivada da potência (caso simples):
. Exemplo: . Isso vem do limite da definição, mas na prova usa-se como regra pronta. - Derivada do logaritmo natural:
para . Breve justificativa: pela definição,
pois
.
Passo 3
Aplicando as regras acima à função
:
- Derivada de
é , isto é
- Derivada de
usa a constante multiplicativa:
Somando as duas parcelas pela regra da soma, obtemos a derivada de
:
Passo 4
Agora avaliamos
em
. Substituindo
em
:
Passo 5
Interpretação rápida e incentivo: a inclinação da reta tangente em
é
. Isso significa que, bem no ponto
, a reta tangente sobe
unidades no eixo
para cada
unidade que avança no eixo
. Mandou bem por trazer o exercício — esse tipo de cálculo cai muito em prova e fica fácil com as regras mostradas.