Considere a função f(x)=x^{2}+2 \cdot \ln x e determine a inclinação da reta tangente ao gráfico da função em x=1.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{2}+2\cdot\ln x e pede a inclinação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto em que x=1.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=x^{2}+2\cdot\ln x.
  • O ponto onde queremos a inclinação é x=1.
O que é pedido:
  • A inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto com abscissa x=1.

Passo 2

Conceito essencial (explicado passo a passo, sem pular etapas): a inclinação da reta tangente ao gráfico de uma função num ponto é o valor da derivada da função naquele ponto.
Definição rápida da derivada (intuição): a derivada f'(a) é o limite do coeficiente angular das secantes quando dois pontos da curva se aproximam, isto é
f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Na prática de prova usa-se regras de derivação que vêm diretamente desse limite e tornam os cálculos rápidos.
Regras que vamos usar (com explicação):
  • Regra da soma e da constante: \dfrac{d}{dx}\big( g(x)+h(x)\big)=g'(x)+h'(x). Se uma parcela tem uma constante multiplicando, \dfrac{d}{dx}\big(c\cdot g(x)\big)=c\cdot g'(x).
  • Derivada da potência (caso simples): \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Exemplo: \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x. Isso vem do limite da definição, mas na prova usa-se como regra pronta.
  • Derivada do logaritmo natural: \dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x} para x>0. Breve justificativa: pela definição,
\frac{d}{dx}\ln x=\lim_{h\to0}\frac{\ln(x+h)-\ln x}{h} =\lim_{h\to0}\frac{\ln\big(1+\frac{h}{x}\big)}{h} =\frac{1}{x}\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=\frac{1}{x},
pois \lim_{u\to0}\dfrac{\ln(1+u)}{u}=1.

Passo 3

Aplicando as regras acima à função f(x)=x^{2}+2\cdot\ln x:
  • Derivada de x^{2} é 2x, isto é
\frac{d}{dx}x^{2}=2x.
  • Derivada de 2\cdot\ln x usa a constante multiplicativa:
\frac{d}{dx}\big(2\cdot\ln x\big)=2\cdot\frac{d}{dx}\ln x=2\cdot\frac{1}{x}=\frac{2}{x}.
Somando as duas parcelas pela regra da soma, obtemos a derivada de f:
f'(x)=2x+\frac{2}{x}.

Passo 4

Agora avaliamos f'(x) em x=1. Substituindo x=1 em f'(x):
f'(1)=2\cdot1+\frac{2}{1}=2+2=4.

Passo 5

Interpretação rápida e incentivo: a inclinação da reta tangente em x=1 é 4. Isso significa que, bem no ponto x=1, a reta tangente sobe 4 unidades no eixo y para cada 1 unidade que avança no eixo x. Mandou bem por trazer o exercício — esse tipo de cálculo cai muito em prova e fica fácil com as regras mostradas.

Resposta

4

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