Determine:
\frac{d}{d x}\left(5 x^{3}+4 e^{x}-e^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular a derivada em relação a x da função
f(x)=5 x^{3}+4 e^{x}-e^{2}.
Informações dadas que são relevantes:
  • A função é a soma de três termos: 5 x^{3}, 4 e^{x} e -e^{2}.
  • e^{2} é um número (constante), pois não depende de x.

Passo 2

Relembrando as regras de derivação que vamos usar (explicadas de modo bem prático):
  • Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, para funções u(x) e v(x),
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)+v(x)\bigr)=\frac{d}{dx}u(x)+\frac{d}{dx}v(x).
  • Regra do fator constante: se c é constante e g(x) é função de x, então
\frac{d}{dx}\bigl(c\cdot g(x)\bigr)=c\cdot\frac{d}{dx}g(x).
Isto permite “puxar” constantes para fora da derivada, o que simplifica cálculos.
  • Regra do poder (power rule): para n real,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1}.
Aplicando a uma constante multiplicativa a,
\frac{d}{dx}\bigl(a x^{n}\bigr)=a n x^{n-1}.
  • Derivada da exponencial natural: para e^{x},
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}\bigr)=e^{x}.
  • Derivada de constante: se C não depende de x, então
\frac{d}{dx}C=0.

Passo 3

Aplicando a regra da soma e separando termo a termo:
\frac{d}{dx}\left(5 x^{3}+4 e^{x}-e^{2}\right) = \frac{d}{dx}\left(5 x^{3}\right) + \frac{d}{dx}\left(4 e^{x}\right) - \frac{d}{dx}\left(e^{2}\right).

Passo 4

Derivo cada termo usando as regras do Passo 2:
  • Para \frac{d}{dx}\left(5 x^{3}\right): uso a regra do poder com fator constante 5:
\frac{d}{dx}\left(5 x^{3}\right)=5\cdot 3 x^{2}=15 x^{2}.
  • Para \frac{d}{dx}\left(4 e^{x}\right): uso a regra do fator constante e que \frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}:
\frac{d}{dx}\left(4 e^{x}\right)=4\cdot e^{x}=4 e^{x}.
  • Para \frac{d}{dx}\left(e^{2}\right): como e^{2} é constante,
\frac{d}{dx}\left(e^{2}\right)=0.

Passo 5

Somando os resultados dos termos:
\frac{d}{dx}\left(5 x^{3}+4 e^{x}-e^{2}\right)=15 x^{2}+4 e^{x}+0.
Eliminando o zero final:
\frac{d}{dx}\left(5 x^{3}+4 e^{x}-e^{2}\right)=15 x^{2}+4 e^{x}.

Resposta

15 x^{2}+4 e^{x}

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