Calcule os logaritmos:
\log _{3}\left(\frac{1}{81}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá: calcular \log_{3}\!\left(\dfrac{1}{81}\right).
Informações relevantes: a base do logaritmo é \,3\, e o argumento é \dfrac{1}{81}.

Passo 2

Definição básica de logaritmo (a ferramenta que vamos usar): para b>0 e b\neq1, e para a>0, dizemos que
\log_{b}(a)=c
se e somente se
b^{c}=a.
Aqui b é a base, a é o número cujo logaritmo queremos, e c é o resultado que procuramos. Em palavras: o log é o expoente que transforma a base no número dado.

Passo 3

Identificar potências de \,3 para reconhecer 81. Calculemos algumas potências:
3^{1}=3,\qquad 3^{2}=9,\qquad 3^{3}=27,\qquad 3^{4}=81.
Portanto podemos escrever
81=3^{4}.

Passo 4

Converter a fração \dfrac{1}{81} em potência de base 3. Usando a regra de expoente negativo:
\frac{1}{3^{4}}=3^{-4}.
Como 81=3^{4}, temos então
\frac{1}{81}=\frac{1}{3^{4}}=3^{-4}.

Passo 5

Aplicar a definição do logaritmo ao caso \log_{3}\!\left(3^{-4}\right). Pela definição, o logaritmo de uma potência da mesma base é simplesmente o expoente:
\log_{3}\!\left(3^{-4}\right)=-4.
Isso ocorre porque \,3^{-4} é exatamente \,3 elevado a -4, e o log retorna esse expoente.

Resposta

-4

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