Calcule.
Lt^2 sen(omega0 t)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace de t²
sen(ω₀
t). O conteúdo principal é a propriedade de diferenciação no domínio de s, que diz que multiplicar por t no tempo equivale a derivar em s. Vamos usar também a transformada básica de sen(ω₀
t).

Passo 2

Primeiro, lembramos que
Lsin(omega0 t) = omega0s^2 + omega0^2

Passo 3

Em seguida usamos a propriedade geral
Lt^nf(t) = (-1)^nd^nds^nl[F(s)r],
onde F(s)=\mathcal{L}{f(t)}. Aqui n=2 e f(t)=sen(ω₀t), então temos
Lt^2sin(omega0t) = (+1)d^2ds^2l[omega0s^2+omega0^2r]

Passo 4

Agora calculamos a primeira derivada:
ddsl[omega0s^2+omega0^2r] = -omega0cdot2s(s^2+omega0^2)^2 = -2omega0s(s^2+omega0^2)^2

Passo 5

Depois, a segunda derivada. Usamos produto e cadeia:
d^2ds^2l[omega0s^2+omega0^2r] = ddsl[-2omega0s(s^2+omega0^2)^2r] = -2omega0(s^2+omega0^2)^2 - 2scdot2s,(s^2+omega0^2)(s^2+omega0^2)^4
Simplificando o numerador:
(s^2+omega0^2)^2 - 4s^2(s^2+omega0^2) = (s^2+omega0^2)(s^2+omega0^2 - 4s^2) = (s^2+omega0^2)(-3s^2+omega0^2)
Logo,
d^2ds^2l[omega0s^2+omega0^2r] = -2omega0cdot(s^2+omega0^2)(-3s^2+omega0^2)(s^2+omega0^2)^4 = 2omega0(3s^2-omega0^2)(s^2+omega0^2)^3

Passo 6

Portanto, a transformada de Laplace pedida fica conforme acima.

Resposta

2omega0(3s^2-omega0^2)(s^2+omega0^2)^3

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