Calcule
e^-3 t * t^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a convolução entre as funções f(t)=e^{-3t} e g(t)=t^2. O assunto é Convolução de sinais em tempo contínuo e vamos precisar usar a definição integral de convolução f*g e técnicas de mudança de variável e integração por partes.

Passo 2

A definição de convolução é
(f*g)(t)=integral0^tf(tau),g(t-tau),dtau
Aqui f(\tau)=e^{-3\tau} e g(t-\tau)=(t-\tau)^2, então
(f*g)(t)=integral0^te^-3tau,(t-tau)^2,dtau

Passo 3

Para simplificar a integral, fazemos a mudança de variável u=t-\tau. Então \tau=t-u, d\tau=-du. Quando \tau=0, u=t; quando \tau=t, u=0. A integral vira
integral0^te^-3tau(t-tau)^2,dtau =integralu=t^0e^-3(t-u),u^2,(-du) =integral0^te^-3t+3u,u^2,du =e^-3tintegral0^tu^2e^3u,du

Passo 4

Agora precisamos calcular I=\int_{0}{t}u2e^{3u},du. Usando a fórmula geral
integral u^n e^au,du=e^aul(u^na-n,u^n-1a^2+n(n-1),u^n-2a^3r)+C
com n=2 e a=3, obtemos
I=e^3ul(u^23-2u9+227r)|0^t =e^3tl(t^23-2t9+227r)-227

Passo 5

Finalmente substituímos I na expressão de (f*g)(t):
(f*g)(t)=e^-3t,I =e^-3tl[e^3tl(t^23-2t9+227r)-227r] =t^23-2t9+227-227e^-3t

Passo 6

Pronto! Obtivemos a formula fechada para a convolução entre e^{-3t} e t^2.

Resposta

(e^-3t*t^2)(t)=t^23-2t9+227-227e^-3t

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