Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular a convolução entre as funções f(t)=e^{-3t} e g(t)=t^2. O assunto é Convolução de sinais em tempo contínuo e vamos precisar usar a definição integral de convolução f*g e técnicas de mudança de variável e integração por partes.
Passo 2
A definição de convolução é
Aqui f(\tau)=e^{-3\tau} e g(t-\tau)=(t-\tau)^2, então
Passo 3
Para simplificar a integral, fazemos a mudança de variável u=t-\tau. Então \tau=t-u, d\tau=-du. Quando \tau=0, u=t; quando \tau=t, u=0. A integral vira
Passo 4
Agora precisamos calcular I=\int_{0}{t}u2e^{3u},du. Usando a fórmula geral
com n=2 e a=3, obtemos
Passo 5
Finalmente substituímos I na expressão de (f*g)(t):
Passo 6
Pronto! Obtivemos a formula fechada para a convolução entre e^{-3t} e t^2.