Desenhe (perfeitamente) cada um dos seguintes sólidos de revolução. Calcule seu volume.
(Esfera) Sólido obtido pela rotação da curva x^2+y^2=R^2, y >= 0, em torno do eixo- x.

Passo 1

O enunciado pede para girar a semicircunferência definida por x^2 + y^2 = R^2,;y>=0 em torno do eixo x, obtendo um sólido de revolução. O conteúdo aqui é “sólidos de revolução” e vamos usar o método dos discos para calcular o volume.

Passo 2

Ao girar essa semicircunferência em torno do eixo x, o perfil descrito por y=raizR^2 - x^2 gera uma esfera de raio R. No desenho, cada ponto da curva descreve um círculo de raio y em torno do eixo x.

Passo 3

Para aplicar o método dos discos, consideramos um fatiamento transversal ao eixo x, em coordenada x. Cada fatia é um disco de raio
y = raizR^2 - x^2
Então sua área é
A(x) = pi l(raizR^2 - x^2r)^2 = pi,(R^2 - x^2)

Passo 4

O volume do sólido é dado pela integral das áreas nesse intervalo de x que vai de -R até +R. Assim,
V = integralx=-R^R A(x),dx = integral-R^R pi,(R^2 - x^2),dx

Passo 5

Agora resolvemos a integral:
integral-R^R(R^2 - x^2),dx = integral-R^RR^2,dx - integral-R^Rx^2,dx = 2R^3 - tfrac2R^33 = tfrac4R^33
Multiplicando por pi, obtemos
V = pi cdot tfrac4R^33 = tfrac43,pi,R^3

Resposta

O volume da esfera obtida é tfrac43,pi,R^3.

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