Desenhe (perfeitamente) cada um dos seguintes sólidos de revolução. Calcule seu volume.
(Esfera) Sólido obtido pela rotação da curva
, em torno do eixo-
.
(Esfera) Sólido obtido pela rotação da curva
Passo 1
O enunciado pede para girar a semicircunferência definida por
em torno do eixo x, obtendo um sólido de revolução. O conteúdo aqui é “sólidos de revolução” e vamos usar o método dos discos para calcular o volume.
Passo 2
Ao girar essa semicircunferência em torno do eixo x, o perfil descrito por
gera uma esfera de raio
. No desenho, cada ponto da curva descreve um círculo de raio
em torno do eixo x.
Passo 3
Para aplicar o método dos discos, consideramos um fatiamento transversal ao eixo x, em coordenada
. Cada fatia é um disco de raio
Então sua área é
Passo 4
O volume do sólido é dado pela integral das áreas nesse intervalo de
que vai de
até
. Assim,
Passo 5
Agora resolvemos a integral:
Multiplicando por
, obtemos
Resposta
O volume da esfera obtida é
.