Calcule m de modo que
\int_{C} \frac{x r^{m}}{y} d x-\frac{x^{2} r^{m}}{y^{2}} d y
com x^{2}+y^{2}=r^{2}, independa da curva C, fronteira de uma região simplesmente conexa. Escolha uma curva C que satisfaça tais condições. Calcule a integral de linha dada ao longo de C.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: determinar o valor de m de modo que a integral de linha
\int_{C} \frac{x r^{m}}{y}\,dx-\frac{x^{2} r^{m}}{y^{2}}\,dy
seja independente da curva C (onde C é fronteira de uma região simplesmente conexa), e então escolher uma curva C que satisfaça as condições e calcular a integral ao longo dessa C.
Informações dadas (lista clara):
  • A forma diferencial é P\,dx+Q\,dy com
P(x,y)=\frac{x\,r^{m}}{y},\qquad Q(x,y)=-\frac{x^{2}r^{m}}{y^{2}},
onde r^{m}=(x^{2}+y^{2})^{m/2}.
  • Queremos independência de curva para quaisquer curvas C que sejam fronteiras de regiões simplesmente conexas em que a forma esteja bem definida (ou seja, onde y\neq0 e r\neq0 quando necessário).

Passo 2

Princípio usado (explicação didática):
  • Para que a integral de linha de uma forma P\,dx+Q\,dy seja independente do caminho em regiões simplesmente conexas onde P e Q têm derivadas parciais contínuas, uma condição suficiente (e, nessas hipóteses, necessária) é que a forma seja exata, isto é, que exista uma função potencial \varphi tal que \partial\varphi/\partial x=P e \partial\varphi/\partial y=Q.
  • Uma forma prática de testar exatidão é verificar a igualdade das derivadas mistas:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}
na região considerada (exceto pontos singulares como y=0).
Vou aplicar essa condição para achar m.

Passo 3

Calcular \partial P/\partial y com detalhes:
  • Escrevemos P(x,y)=\dfrac{x}{y}\,r^{m} com r^{m}=(x^{2}+y^{2})^{m/2}.
  • Primeiro calculemos \dfrac{\partial}{\partial y}\big(y^{-1}r^{m}\big). Usamos regra do produto:
\frac{\partial}{\partial y}\big(y^{-1}r^{m}\big) = \frac{\partial}{\partial y}(y^{-1})\cdot r^{m} + y^{-1}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(r^{m}).
  • Temos \dfrac{\partial}{\partial y}(y^{-1})=-y^{-2}.
  • E \dfrac{\partial}{\partial y}(r^{m}) = m\,y\,r^{m-2} (pois r^{m}=(x^{2}+y^{2})^{m/2} e derivando dá \dfrac{m}{2}(x^{2}+y^{2})^{m/2-1}\cdot 2y = m y r^{m-2}).
  • Então
\frac{\partial}{\partial y}\big(y^{-1}r^{m}\big) = -\frac{r^{m}}{y^{2}} + y^{-1}\cdot m y r^{m-2} = -\frac{r^{m}}{y^{2}} + m r^{m-2}.
  • Multiplicando por x (já que P=x\cdot(y^{-1}r^{m})) obtemos
\frac{\partial P}{\partial y} = -\frac{x r^{m}}{y^{2}} + m x r^{m-2}.

Passo 4

Calcular \partial Q/\partial x com detalhes:
  • Escrevemos Q(x,y)=-\dfrac{x^{2}}{y^{2}}\,r^{m}.
  • Aplicando a regra do produto (derivando em relação a x):
\frac{\partial Q}{\partial x} = -\left( \frac{\partial}{\partial x}(x^{2}y^{-2})\cdot r^{m} + x^{2}y^{-2}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(r^{m}) \right).
  • Temos \dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2}y^{-2}) = 2x y^{-2}.
  • E \dfrac{\partial}{\partial x}(r^{m}) = m x r^{m-2}.
  • Substituindo:
\frac{\partial Q}{\partial x} = -\left(2x\frac{r^{m}}{y^{2}} + x^{2}\frac{m x r^{m-2}}{y^{2}}\right) = -\frac{2x r^{m}}{y^{2}} - \frac{m x^{3} r^{m-2}}{y^{2}}.

Passo 5

Impor igualdade \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x} e achar m:
  • Igualando as expressões encontradas:
-\frac{x r^{m}}{y^{2}} + m x r^{m-2} \;=\; -\frac{2x r^{m}}{y^{2}} - \frac{m x^{3} r^{m-2}}{y^{2}}.
  • Multiplicamos ambos os lados por y^{2} para limpar denominadores:
- x r^{m} + m x r^{m-2} y^{2} = -2 x r^{m} - m x^{3} r^{m-2}.
  • Passando termos para um lado e simplificando:
x r^{m} + m x r^{m-2}(x^{2}+y^{2}) = 0.
  • Como x^{2}+y^{2}=r^{2}, isto vira
x r^{m} + m x r^{m-2} r^{2} = x r^{m} + m x r^{m} = x r^{m}(1+m)=0.
  • Para que a igualdade valha em uma região (não apenas em pontos isolados como x=0 ou r=0), precisamos de
1+m=0\quad\Rightarrow\quad m=-1.
Portanto o único valor de m que garante independência de curva (em regiões onde a forma é regular) é m=-1.

Passo 6

Escolher uma curva C que satisfaça as condições:
  • Observação: a forma tem denominadores em y e y^{2}, logo há singularidade na linha y=0. Portanto a região simplesmente conexa cuja fronteira é C deve ficar inteiramente dentro de \{(x,y):y\neq0\}. Para simplificar, escolho a circunferência
C:\quad (x)^{2}+(y-2)^{2}=1,
ou seja, círculo de centro (0,2) e raio 1. Esta curva é fronteira de uma região simplesmente conexa (o disco centrado em (0,2) de raio 1) e todo o disco fica com y\ge 1>0, portanto não cruza a linha y=0 e a forma está bem definida e suave nessa região. Assim a hipótese necessária está satisfeita.

Passo 7

Exibir a função potencial (ensinar como encontrar):
  • Com m=-1, temos r^{m}=r^{-1}=1/r. Então a forma fica
P\,dx+Q\,dy = \frac{x}{y r}\,dx - \frac{x^{2}}{y^{2} r}\,dy.
  • Procuramos \varphi(x,y) tal que \phi_{x}=P. Integramos P em relação a x (tratando y como constante):
\varphi(x,y) = \int \frac{x}{y r}\,dx + g(y).
  • Fazer a integral: use u=x^{2}+y^{2}, então du=2x\,dx. Assim
\int \frac{x}{y r}\,dx = \int \frac{x}{y\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,dx = \frac{1}{2y}\int u^{-1/2}\,du = \frac{1}{2y}\cdot 2 u^{1/2} = \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{y} = \frac{r}{y}.
  • Logo
\varphi(x,y)=\frac{r}{y}+g(y).
  • Diferenciando \varphi em relação a y para comparar com Q:
    calculemos \dfrac{\partial}{\partial y}\big(\dfrac{r}{y}\big). Uma forma prática é usar a regra do quociente:
\frac{\partial}{\partial y}\Big(\frac{r}{y}\Big)=\frac{y\cdot \partial r/\partial y - r\cdot 1}{y^{2}}.
Como \partial r/\partial y = y/r, isso dá
\frac{y\cdot (y/r) - r}{y^{2}} = \frac{y^{2}/r - r}{y^{2}} = -\frac{x^{2}}{r y^{2}}.
  • Portanto
\phi_{y} = -\frac{x^{2}}{r y^{2}} + g'(y).
  • Mas queremos \phi_{y}=Q=-\dfrac{x^{2}}{r y^{2}}. Logo g'(y)=0 e g é constante que podemos desprezar.
Concluímos que uma função potencial válida é
\varphi(x,y)=\frac{r}{y}=\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{y}.

Passo 8

Calcular a integral de linha ao longo da curva C:
  • Como a forma é exata em toda a região interior ao C (com m=-1) e \varphi é potencial, a integral de linha sobre a fronteira C (curva fechada) é, por teorema fundamental para integrais de linha, igual a \varphi avaliada no ponto final menos no ponto inicial. Para uma curva fechada, isso dá zero:
\oint_{C} P\,dx+Q\,dy = \varphi(\text{ponto final})-\varphi(\text{ponto inicial}) = 0.
  • Alternativamente, podemos argumentar que sobre qualquer curva fechada C que seja fronteira de uma região simplesmente conexa contida em y\neq0, a integral é zero porque a forma é exata nesse domínio.

Resposta

m=-1
\displaystyle \int_{C}\frac{x r^{m}}{y}\,dx-\frac{x^{2} r^{m}}{y^{2}}\,dy=0

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