Calcule
de modo que
com
, independa da curva
, fronteira de uma região simplesmente conexa. Escolha uma curva
que satisfaça tais condições. Calcule a integral de linha dada ao longo de
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: determinar o valor de
de modo que a integral de linha
seja independente da curva
(onde
é fronteira de uma região simplesmente conexa), e então escolher uma curva
que satisfaça as condições e calcular a integral ao longo dessa
.
Informações dadas (lista clara):
- A forma diferencial é
com
onde
.
- Queremos independência de curva para quaisquer curvas
que sejam fronteiras de regiões simplesmente conexas em que a forma esteja bem definida (ou seja, onde e quando necessário).
Passo 2
Princípio usado (explicação didática):
- Para que a integral de linha de uma forma
seja independente do caminho em regiões simplesmente conexas onde e têm derivadas parciais contínuas, uma condição suficiente (e, nessas hipóteses, necessária) é que a forma seja exata, isto é, que exista uma função potencial tal que e . - Uma forma prática de testar exatidão é verificar a igualdade das derivadas mistas:
na região considerada (exceto pontos singulares como
).
Vou aplicar essa condição para achar
.
Passo 3
Calcular
com detalhes:
- Escrevemos
com . - Primeiro calculemos
. Usamos regra do produto:
- Temos
. - E
(pois e derivando dá ). - Então
- Multiplicando por
(já que ) obtemos
Passo 4
Calcular
com detalhes:
- Escrevemos
. - Aplicando a regra do produto (derivando em relação a
):
- Temos
. - E
. - Substituindo:
Passo 5
Impor igualdade
e achar
:
- Igualando as expressões encontradas:
- Multiplicamos ambos os lados por
para limpar denominadores:
- Passando termos para um lado e simplificando:
- Como
, isto vira
- Para que a igualdade valha em uma região (não apenas em pontos isolados como
ou ), precisamos de
Portanto o único valor de
que garante independência de curva (em regiões onde a forma é regular) é
.
Passo 6
Escolher uma curva
que satisfaça as condições:
- Observação: a forma tem denominadores em
e , logo há singularidade na linha . Portanto a região simplesmente conexa cuja fronteira é deve ficar inteiramente dentro de . Para simplificar, escolho a circunferência
ou seja, círculo de centro
e raio
. Esta curva é fronteira de uma região simplesmente conexa (o disco centrado em
de raio
) e todo o disco fica com
, portanto não cruza a linha
e a forma está bem definida e suave nessa região. Assim a hipótese necessária está satisfeita.
Passo 7
Exibir a função potencial (ensinar como encontrar):
- Com
, temos . Então a forma fica
- Procuramos
tal que . Integramos em relação a (tratando como constante):
- Fazer a integral: use
, então . Assim
- Logo
- Diferenciando
em relação a para comparar com :
calculemos. Uma forma prática é usar a regra do quociente:
Como
, isso dá
- Portanto
- Mas queremos
. Logo e é constante que podemos desprezar.
Concluímos que uma função potencial válida é
Passo 8
Calcular a integral de linha ao longo da curva
:
- Como a forma é exata em toda a região interior ao
(com ) e é potencial, a integral de linha sobre a fronteira (curva fechada) é, por teorema fundamental para integrais de linha, igual a avaliada no ponto final menos no ponto inicial. Para uma curva fechada, isso dá zero:
- Alternativamente, podemos argumentar que sobre qualquer curva fechada
que seja fronteira de uma região simplesmente conexa contida em , a integral é zero porque a forma é exata nesse domínio.