Calcule
, em que
é a hipocicloide
.
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a integral de linha
onde
é a hipocicloide (astroid)
e, pelo enunciado, as componentes do campo são (reagrupando os parênteses)
Resumo das informações importantes:
- Queremos
com fechado sendo a curva . - As funções
e são compostas por funções trigonométricas e exponenciais e são suaves em toda a região fechada limitada por . - O enunciado não pede parametrizar a curva explicitamente, então vamos procurar uma técnica que simplifique a integral (vamos usar isso nos passos seguintes).
Passo 2
Por que usar o Teorema de Green (explicação didática)?
- O Teorema de Green transforma uma integral de linha ao longo de uma curva fechada
na integral dupla sobre a região plana que delimita. - A vantagem: muitas vezes o integrando da integral dupla é mais simples de calcular do que parametricamente calcular
ao redor de uma curva com cusps. - Enunciado garante que
têm derivadas parciais contínuas na região interior (são combinações de polinômios, seno, cosseno e exponencial), logo podemos aplicar Green.
O Teorema de Green (forma usada aqui) diz:
onde
é a região interior a
, orientada positivamente (contrário ao sentido horário).
Passo 3
Calcular as derivadas parciais necessárias (passo mecânico e didático).
- Derivada parcial de
em relação a : Explicando: para usamos a regra do produto: derivada de é multiplicada por mais vezes derivada de que é . O termo ao derivar em dá (tratamos como constante). - Derivada parcial de
em relação a : Explicando: derivando termo a termo em : para fica (pois e são tratados como constantes), para fica , e para fica .
Passo 4
Formar o integrando da integral dupla pelo Teorema de Green:
Agora simplifico termo a termo:
-
cancela com . -
cancela com . - Restam
.
Portanto, o integrando ficou muito simples:
Comentário didático: isso é ótimo — a parte complicada envolvendo
e
desapareceu ao subtrair as parciais, sobrando uma função que depende só de
. Esse tipo de simplificação é o objetivo de sempre tentar Green quando a região e as funções permitem.
Passo 5
Aplicar Green: a integral de linha se transforma em
Agora precisamos calcular a integral dupla sobre a região
interior ao astroid
Observação sobre simetria (muito útil): a região
é simétrica em relação aos eixos
e
. A função
satisfaz
ou seja,
é uma função par (dependente de
efetivamente). Assim, ao integrar sobre a região simétrica, podemos reduzir a integral para o primeiro quadrante e multiplicar pelo número apropriado de quadrantes. Em particular:
onde
é a parte de
no primeiro quadrante
.
Explicação: a função é independente do sinal de e é par em
, então cada quadrante contribui igualmente; são 4 quadrantes.
Explicação: a função é independente do sinal de
Passo 6
Calcular a integral sobre o primeiro quadrante
usando integração em fatias (Fubini) — didaticamente simples.
Para fixo em
, a desigualdade da curva dá
Para
Logo, integrando primeiro em
,
Note que a integral em
apenas multiplicou por essa altura
.
Como a integral sobre toda
era
vezes essa integral no primeiro quadrante, obtemos:
Passo 7
Dar uma forma alternativa e mais normalizada por substituição (opcional, útil para reconhecimento de forma Beta).
Faça a substituição adimensionada
Faça a substituição adimensionada
com
variando de
a
. Substituindo em
obtemos (calculei os fatores constantes cuidadosamente)
Explicando os passos das potências:
dá
; o fator
; e o
traz
. Multiplicando tudo e o fator 16 dá o
em frente.
Passo 8
Comentário final (motivacional e prático):
- A etapa chave foi usar Green para reduzir a integral de linha a uma integral dupla cujo integrando simplificou dramaticamente para
. - A integral dupla foi então reduzida a uma integral unidimensional ao integrar em fatias (Fubini), usando a equação da astroid para obter os limites em
. - O resultado final pode ser mostrado em duas formas equivalentes: uma integral em
sobre e outra integral adimensional em sobre . Em muitas aplicações a forma com é mais prática para análise assintótica ou para avaliação numérica.