Pelos pontos
foi traçada uma parábola, cujo eixo coincide com o eixo
, e sua corda é
. Calcule
, em que
é a curva fronteira da região limitada por essa parábola e por essa corda.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
é a curva fronteira da região limitada por uma parábola e pela sua corda
. Os dados fornecidos são:
- Os pontos
e pertencem à parábola. - O eixo da parábola coincide com o eixo
. - A corda que fecha a região é o segmento
.
As perguntas implícitas são:
- Determinar a equação da parábola que passa por
e e tem eixo no eixo . - Determinar a equação da reta que passa por
e (a corda). - Calcular a integral de linha indicada ao longo da fronteira da região limitada por essas duas curvas, com orientação positiva (contrária ao sentido horário, i.e., contorno da região no sentido anti-horário).
Passo 2
Encontrar a equação da parábola.
Uma parábola com eixo no eixo tem forma geral
Uma parábola com eixo no eixo
onde
e
são constantes. Usamos os pontos dados para encontrar
e
.
Usando
:
Usando
:
Substituindo
:
Logo
e a parábola é
Passo 3
Determinar a equação da reta que passa por
e
(a corda). A inclinação é
A equação em forma ponto-de-reta com
é
Passo 4
Identificar o campo cujas componentes aparecem na integral. Escrevemos a integral no formato usual
onde, comparando com a integral dada,
Vou usar a orientação positiva (contorno no sentido anti-horário), que é a hipótese padrão quando se diz “curva fronteira da região”.
Passo 5
Apresentar o teorema que facilita o cálculo: Teorema de Green (para regiões planas).
O Teorema de Green diz que, para uma região simples e limitada por uma curva fechada
orientada positivamente,
O Teorema de Green diz que, para uma região
Aqui
é a derivada parcial de
em relação a
(tratando
como constante) e
é a derivada parcial de
em relação a
.
Passo 6
Calcular as derivadas parciais do campo:
Portanto o integrando de Green é
Passo 7
Aplicar Green: a integral de linha vale a integral dupla do valor constante
sobre a região
limitada pela parábola
e pela reta
. Assim
Ou seja, precisamos apenas achar a área da região
.
Passo 8
Determinar os limites para calcular a área. As curvas se interceptam em
e
(pois são os pontos
e
). Entre esses
a reta está acima da parábola (pode-se verificar em
:
e
). Portanto a área é
Passo 9
Calcular a integral da área passo a passo. Primeiro simplificamos o integrando:
Uma primitiva é
Avaliamo-la entre
e
.
No extremo
:
No extremo
:
Então a área é
Passo 10
Voltar à integral original usando o resultado da área. Como vimos,
O valor numérico final será dado na seção de resposta.