Pelos pontos A(1,0), B(2,3) foi traçada uma parábola, cujo eixo coincide com o eixo y, e sua corda é A B. Calcule \int_{C}(x+y) d x-(x-y) d y, em que C é a curva fronteira da região limitada por essa parábola e por essa corda.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} (x+y)\,dx - (x-y)\,dy
onde C é a curva fronteira da região limitada por uma parábola e pela sua corda AB. Os dados fornecidos são:
  • Os pontos A(1,0) e B(2,3) pertencem à parábola.
  • O eixo da parábola coincide com o eixo y.
  • A corda que fecha a região é o segmento AB.
As perguntas implícitas são:
  • Determinar a equação da parábola que passa por A e B e tem eixo no eixo y.
  • Determinar a equação da reta que passa por A e B (a corda).
  • Calcular a integral de linha indicada ao longo da fronteira da região limitada por essas duas curvas, com orientação positiva (contrária ao sentido horário, i.e., contorno da região no sentido anti-horário).

Passo 2

Encontrar a equação da parábola.
Uma parábola com eixo no eixo y tem forma geral
y = a x^{2} + b,
onde a e b são constantes. Usamos os pontos dados para encontrar a e b.
Usando A(1,0):
0 = a\cdot 1^{2} + b \quad\Rightarrow\quad b = -a.
Usando B(2,3):
3 = a\cdot 2^{2} + b = 4a + b.
Substituindo b=-a:
3 = 4a - a = 3a \quad\Rightarrow\quad a = 1.
Logo b = -1 e a parábola é
y = x^{2} - 1.

Passo 3

Determinar a equação da reta que passa por A(1,0) e B(2,3) (a corda). A inclinação é
m = \frac{3-0}{2-1} = 3.
A equação em forma ponto-de-reta com A é
y - 0 = 3(x-1)\quad\Rightarrow\quad y = 3x - 3.

Passo 4

Identificar o campo cujas componentes aparecem na integral. Escrevemos a integral no formato usual
\int_{C} P\,dx + Q\,dy,
onde, comparando com a integral dada,
P(x,y) = x + y,\qquad Q(x,y) = -(x - y) = -x + y.
Vou usar a orientação positiva (contorno no sentido anti-horário), que é a hipótese padrão quando se diz “curva fronteira da região”.

Passo 5

Apresentar o teorema que facilita o cálculo: Teorema de Green (para regiões planas).
O Teorema de Green diz que, para uma região D simples e limitada por uma curva fechada C orientada positivamente,
\int_{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA.
Aqui \frac{\partial Q}{\partial x} é a derivada parcial de Q em relação a x (tratando y como constante) e \frac{\partial P}{\partial y} é a derivada parcial de P em relação a y.

Passo 6

Calcular as derivadas parciais do campo:
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(-x + y) = -1,
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x + y) = 1.
Portanto o integrando de Green é
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = -1 - 1 = -2.

Passo 7

Aplicar Green: a integral de linha vale a integral dupla do valor constante -2 sobre a região D limitada pela parábola y = x^{2}-1 e pela reta y = 3x-3. Assim
\int_{C} (x+y)\,dx - (x-y)\,dy = \iint_{D} -2 \, dA = -2 \cdot \text{Área}(D).Á
Ou seja, precisamos apenas achar a área da região D.

Passo 8

Determinar os limites para calcular a área. As curvas se interceptam em x=1 e x=2 (pois são os pontos A e B). Entre esses x a reta está acima da parábola (pode-se verificar em x=1{,}5: y_{\text{reta}}=3\cdot1{,}5-3=1{,}5 e y_{\text{par}}=(1{,}5)^{2}-1=1{,}25). Portanto a área é
\text{Área}(D)=\int_{1}^{2} \big( y_{\text{reta}} - y_{\text{par}} \big)\,dx = \int_{1}^{2} \big( (3x-3) - (x^{2}-1) \big)\,dx.Á

Passo 9

Calcular a integral da área passo a passo. Primeiro simplificamos o integrando:
(3x-3)-(x^{2}-1) = -x^{2} + 3x - 2.
Uma primitiva é
\int (-x^{2} + 3x - 2)\,dx = -\frac{1}{3}x^{3} + \frac{3}{2}x^{2} - 2x + C.
Avaliamo-la entre 1 e 2.
No extremo x=2:
-\frac{1}{3}\cdot 2^{3} + \frac{3}{2}\cdot 2^{2} - 2\cdot 2 = -\frac{8}{3} + \frac{3}{2}\cdot 4 - 4 = -\frac{8}{3} + 6 - 4 = -\frac{8}{3} + 2 = -\frac{2}{3}.
No extremo x=1:
-\frac{1}{3}\cdot 1^{3} + \frac{3}{2}\cdot 1^{2} - 2\cdot 1 = -\frac{1}{3} + \frac{3}{2} - 2 = -\frac{1}{3} -\frac{1}{2} = -\frac{5}{6}.
Então a área é
\text{Área}(D) = \left(-\frac{2}{3}\right) - \left(-\frac{5}{6}\right) = -\frac{2}{3} + \frac{5}{6} = \frac{1}{6}.Á

Passo 10

Voltar à integral original usando o resultado da área. Como vimos,
\int_{C} (x+y)\,dx - (x-y)\,dy = -2 \cdot \text{Área}(D) = -2 \cdot \frac{1}{6}.Á
O valor numérico final será dado na seção de resposta.

Resposta

-\frac{1}{3}

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