Calcule
, em que
é a parte do círculo
contida no primeiro quadrante, no sentido de (
) para (
).
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
é a parte do círculo
contida no primeiro quadrante, percorrida no sentido de
para
.
Informações dadas e perguntas a responder:
- Curva
: arco do círculo de raio no primeiro quadrante, de até . - Funções do integrando:
- Objetivo: calcular a integral de linha
.
Passo 2
Escolha do método (explicando de forma didática): uma boa estratégia quando a curva é parte de uma fronteira simples é fechar a curva com segmentos fáceis (aqui os eixos coordenados) e aplicar o Teorema de Green (que transforma uma integral de linha ao redor de uma curva fechada numa integral dupla sobre a região que ela encerra). Depois, subtraímos (ou somamos) as integrais sobre os segmentos adicionados para recuperar a integral sobre o arco desejado. Vou usar exatamente isso porque simplifica muito a conta: as integrais sobre os eixos ficam fáceis e o interior é o quarto de disco.
Breve aula sobre o Teorema de Green (intuição e fórmula): se
é uma curva fechada simples, positiva (contrária aos ponteiros do relógio) que delimita uma região
, e
têm derivadas parciais contínuas em
, então
Ou seja, a circulação ao redor da borda é igual ao somatório (integral) da “vorticidade”
dentro da região.
Passo 3
Definimos o caminho fechado
formado por:
-
: o arco do círculo de a (este é o que queremos); -
: segmento do eixo de até ; -
: segmento do eixo de até .
A orientação escolhida é a positiva (contrária aos ponteiros do relógio): percorremos
de
a
, em seguida
de
a
, depois
de
a
. Pelo Teorema de Green,
e
Logo
Passo 4
Calculamos
e
.
Calculemos com calma:
portanto
E
Assim,
Passo 5
Calculamos as integrais sobre os segmentos
e
(elas aparecerão na fórmula e, como veremos, simplificam bastante).
Segmento
:
. Aqui
,
,
varia de
até
. Em
,
Então
Segmento
:
. Aqui
,
,
varia de
até
. Em
,
Então
Somando:
Perfeito — as integrais nos eixos se cancelam, então não precisamos subtrair nada: simplesmente
Isso é uma grande economia de trabalho — por isso escolhemos Green!
Passo 6
A região
é o quarto de disco de raio
:
.
Então
Então
Separe em duas integrais:
Passo 7
Calculamos a primeira integral (é padrão em coordenadas polares). Em coordenadas polares
, com
,
.
Então
Então
Passo 8
Agora a segunda integral:
É conveniente integrar primeiro em
(cartesiano). A região
pode ser escrita como
de
a
e
de
a
. Assim
No integrando,
é constante em relação a
, então
Logo a integral fica
Denotemos
Então o valor total é
Passo 9
Calculamos
com uma pequena divisão algébrica para simplificar a função racional. Desenvolvendo o numerador:
Fazendo a divisão polinomial de
por
, obtemos (faça mentalmente ou no papel): o quociente é
e o resto é
. Assim
Verificação rápida (plugando números) confirma que essa identidade é correta.
Portanto
Calcule cada peça:
E
Sabemos que
e
. Assim
Logo
Passo 10
Reunindo tudo:
Essa expressão é o resultado final. (Respira: deu trabalho, mas o uso do Teorema de Green e o cancelamento das integrais nos eixos deixou a conta manejável.)