Uma máquina produziu 50 parafusos, dos quais 5 eram defeituosos. Sabendo que foram pegos, ao acaso, 3 parafusos, responda.
a) Qual é a probabilidade de que os 3 sejam perfeitos?
b) Qual é a probabilidade de que pelo menos um seja defeituoso?
a) Qual é a probabilidade de que os 3 sejam perfeitos?
b) Qual é a probabilidade de que pelo menos um seja defeituoso?
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pede duas probabilidades:
- Foram produzidos
parafusos no total. - Desses,
eram defeituosos. - Logo, há
parafusos perfeitos (não defeituosos). - Foram retirados, ao acaso,
parafusos (sem reposição).
As perguntas são:
a) Qual é a probabilidade de que os escolhidos sejam perfeitos?
b) Qual é a probabilidade de que pelo menos um seja defeituoso?
a) Qual é a probabilidade de que os
b) Qual é a probabilidade de que pelo menos um seja defeituoso?
Passo 2
Primeiro conceito importante: contagens por combinação. A quantidade de formas de escolher
elementos dentre
sem ordem é dada pelo coeficiente binomial
onde
(fatorial) é
. Esse número conta quantas amostras de tamanho
podem ser feitas a partir de um total
.
Para problemas de probabilidade sem reposição, uma forma natural de raciocinar é: a probabilidade de um evento é
onde ambos os numeradores e denominadores podem ser contados com combinações quando a ordem não importa.
Passo 3
Resolvendo a letra (a): “os 3 sejam perfeitos”.
- Número total de maneiras de escolher qualquer conjunto de
parafusos dentre : . - Número de maneiras de escolher
perfeitos dentre os perfeitos: .
Portanto a probabilidade pedida é
Agora vou transformar isso numa forma que dê para calcular sem usar fatorial completo. Usando a definição de combinação de ordem
e cancelando o fator
em cima e embaixo, obtemos a forma multiplicativa
Essa expressão também pode ser vista como produto das probabilidades sucessivas sem reposição:
o que tem a mesma interpretação: primeiro escolher um perfeito dentre
, depois outro dentre os
perfeitos restantes entre os
parafusos remanescentes, etc.
Agora calculando a fração:
Simplificando essa fração por
obtemos
Como decimal (aproximação),
Passo 4
Resolvendo a letra (b): “pelo menos um seja defeituoso”.
Uma técnica muito útil é usar o complemento. O evento “pelo menos um defeituoso” é o evento complementar de “nenhum defeituoso” (ou seja, todos perfeitos). Assim
Já calculamos
na letra (a). Portanto
Como decimal (aproximação),
Passo 5
Resumo/checagem rápida (pra te acalmar): os números somam 1 como devem (
). A resposta pela via das combinações e pela via multiplicativa sequencial bate, então está consistente.
Resposta
(a)
(b)
(b)