Uma máquina produziu 50 parafusos, dos quais 5 eram defeituosos. Sabendo que foram pegos, ao acaso, 3 parafusos, responda.
a) Qual é a probabilidade de que os 3 sejam perfeitos?
b) Qual é a probabilidade de que pelo menos um seja defeituoso?

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede duas probabilidades:
  • Foram produzidos 50 parafusos no total.
  • Desses, 5 eram defeituosos.
  • Logo, há 45 parafusos perfeitos (não defeituosos).
  • Foram retirados, ao acaso, 3 parafusos (sem reposição).
As perguntas são:
a) Qual é a probabilidade de que os 3 escolhidos sejam perfeitos?
b) Qual é a probabilidade de que pelo menos um seja defeituoso?

Passo 2

Primeiro conceito importante: contagens por combinação. A quantidade de formas de escolher k elementos dentre n sem ordem é dada pelo coeficiente binomial
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) é n!=n\cdot(n-1)\cdots2\cdot1. Esse número conta quantas amostras de tamanho k podem ser feitas a partir de um total n.
Para problemas de probabilidade sem reposição, uma forma natural de raciocinar é: a probabilidade de um evento é
\text{probabilidade}=\frac{\text{número de resultados favoráveis}}{\text{número de resultados possíveis}},úáúí
onde ambos os numeradores e denominadores podem ser contados com combinações quando a ordem não importa.

Passo 3

Resolvendo a letra (a): “os 3 sejam perfeitos”.
  • Número total de maneiras de escolher qualquer conjunto de 3 parafusos dentre 50: \displaystyle \binom{50}{3}.
  • Número de maneiras de escolher 3 perfeitos dentre os 45 perfeitos: \displaystyle \binom{45}{3}.
Portanto a probabilidade pedida é
\frac{\binom{45}{3}}{\binom{50}{3}}.
Agora vou transformar isso numa forma que dê para calcular sem usar fatorial completo. Usando a definição de combinação de ordem 3 e cancelando o fator 3! em cima e embaixo, obtemos a forma multiplicativa
\frac{\binom{45}{3}}{\binom{50}{3}} =\frac{\dfrac{45\cdot44\cdot43}{3\cdot2\cdot1}}{\dfrac{50\cdot49\cdot48}{3\cdot2\cdot1}} =\frac{45\cdot44\cdot43}{50\cdot49\cdot48}.
Essa expressão também pode ser vista como produto das probabilidades sucessivas sem reposição:
\frac{45}{50}\cdot\frac{44}{49}\cdot\frac{43}{48},
o que tem a mesma interpretação: primeiro escolher um perfeito dentre 45/50, depois outro dentre os 44 perfeitos restantes entre os 49 parafusos remanescentes, etc.
Agora calculando a fração:
\frac{45\cdot44\cdot43}{50\cdot49\cdot48} =\frac{17028}{23520}.
Simplificando essa fração por 12 obtemos
\frac{17028}{23520}=\frac{1419}{1960}.
Como decimal (aproximação),
\frac{1419}{1960}\approx0,7244897959.

Passo 4

Resolvendo a letra (b): “pelo menos um seja defeituoso”.
Uma técnica muito útil é usar o complemento. O evento “pelo menos um defeituoso” é o evento complementar de “nenhum defeituoso” (ou seja, todos perfeitos). Assim
P(\text{pelo menos um defeituoso})=1-P(\text{nenhum defeituoso}).
Já calculamos P(\text{nenhum defeituoso}) na letra (a). Portanto
P(\text{pelo menos um defeituoso})=1-\frac{1419}{1960}=\frac{1960-1419}{1960}=\frac{541}{1960}.
Como decimal (aproximação),
\frac{541}{1960}\approx0,2755102041.

Passo 5

Resumo/checagem rápida (pra te acalmar): os números somam 1 como devem ( 0,7244898+0,2755102\approx1 ). A resposta pela via das combinações e pela via multiplicativa sequencial bate, então está consistente.

Resposta

(a) \dfrac{1419}{1960}\approx0,7244897959
(b) \dfrac{541}{1960}\approx0,2755102041

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