(a) Calcule a magnetização de um sólido que contém
átomos magnéticos de spin
por unidade de volume a uma temperatura
, colocados em um campo magnético externo B. Despreze a interação entre os spins. Explique.
(b) Considerando um campo magnético externo de 30.000 gauss, e um momento magnético
igual a um magneton de Bohr, abaixo de que temperatura devemos resfriar o sólido de modo que mais de dois terços dos átomos tenham os seus spins paralelos ao campo magnético? Explique.
(b) Considerando um campo magnético externo de 30.000 gauss, e um momento magnético
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos:
- Pedido (a): calcular a magnetização de um sólido que contém
átomos magnéticos por unidade de volume, cada átomo com spin , à temperatura sob um campo magnético externo . As interações entre spins são desprezadas. - Pedido (b): para
gauss e momento magnético por átomo igual a um magneton de Bohr , determinar a temperatura abaixo da qual mais de dois terços dos átomos têm os spins paralelos ao campo. - Informação extra importante que vamos usar: 1 tesla
gauss, portanto gauss T.
Vou usar constantes físicas: a constante de Boltzmanne o magneton de Bohr (valor numérico será usado no item (b)).
Passo 2
Modelo físico e energias das duas orientações do spin
.
- Cada átomo tem momento magnético apontando ou paralelo ou antiparalelo ao campo. Se a projeção do momento na direção do campo vale
, a energia de um momento magnético no campo é
- Assim temos dois níveis energéticos para cada átomo:
- Em equilíbrio térmico a temperatura
governa as probabilidades via fatores de Boltzmann . Vou denotar para simplificar a escrita.
Passo 3
Partição e magnetização por átomo (média do momento magnético).
- O fator de Boltzmann para os dois estados é
para e para . O somatório desses fatores é a função partição (por átomo):
- A média do momento magnético por átomo na direção do campo é o valor esperado de
:
- Explicando em palavras: se
for grande e positivo, domina e (saturação, todos alinhados); se for pequeno, e a média é proporcional a (lei de Curie).
Passo 4
Magnetização do sólido (parte a).
- Magnetização
é momento magnético total por unidade de volume; com átomos por unidade de volume temos
- Substituindo a média encontrada:
- Comentário prático: para
(regime de altas temperaturas ou campos fracos),
que é a forma da lei de Curie (magnetização proporcional a
).
Passo 5
Preparação para (b): probabilidade de spin paralelo e condição numérica pedida.
- A probabilidade de um átomo estar no estado paralelo é
- Queremos
. Substituindo a expressão:
- Assim a condição sobre
é
- Lembrando que
. Note que (porque ), então
Passo 6
Cálculo numérico da temperatura limite (parte b).
- Reescrevendo
em termos de :
- Dados numéricos:
-
gauss T, -
(magneton de Bohr) com , -
, -
.
-
- Calcular o numerador
:
- Dividindo por
e pelo fator :
Passo 7
Interpretação final e incentivo.
- Conclusão física: para o campo de
T e momento de Bohr, é preciso resfriar o sólido abaixo de aproximadamente K para que mais de dos spins fiquem alinhados com o campo. Isso faz sentido: temperaturas bem baixas favorecem o estado de menor energia (spins paralelos). - Você já tem a fórmula geral (item a) que vale para qualquer
e , e a condição numérica (item b). Se quiser, dá pra repetir o cálculo usando outro valor de ou de — é a mesma receita.