(a) Calcule a magnetização de um sólido que contém N_{0} átomos magnéticos de spin S=1 / 2 por unidade de volume a uma temperatura T, colocados em um campo magnético externo B. Despreze a interação entre os spins. Explique.
(b) Considerando um campo magnético externo de 30.000 gauss, e um momento magnético \mu igual a um magneton de Bohr, abaixo de que temperatura devemos resfriar o sólido de modo que mais de dois terços dos átomos tenham os seus spins paralelos ao campo magnético? Explique.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos:
  • Pedido (a): calcular a magnetização de um sólido que contém N_{0} átomos magnéticos por unidade de volume, cada átomo com spin S=\tfrac{1}{2}, à temperatura T sob um campo magnético externo B. As interações entre spins são desprezadas.
  • Pedido (b): para B=30\,000 gauss e momento magnético por átomo igual a um magneton de Bohr \mu=\mu_{B}, determinar a temperatura abaixo da qual mais de dois terços dos átomos têm os spins paralelos ao campo.
  • Informação extra importante que vamos usar: 1 tesla =10^{4} gauss, portanto 30\,000 gauss =3 T.
    Vou usar constantes físicas: a constante de Boltzmann k_{B} e o magneton de Bohr \mu_{B} (valor numérico será usado no item (b)).

Passo 2

Modelo físico e energias das duas orientações do spin S=\tfrac{1}{2}.
  • Cada átomo tem momento magnético apontando ou paralelo ou antiparalelo ao campo. Se a projeção do momento na direção do campo vale \mu_{z}=\pm\mu, a energia de um momento magnético no campo é
E = -\mu_{z} B.
  • Assim temos dois níveis energéticos para cada átomo:
E_{+} = -\mu B \quad\text{(spin paralelo ao campo, estado "baixo")},
E_{-} = +\mu B \quad\text{(spin antiparalelo, estado "alto")}.
  • Em equilíbrio térmico a temperatura T governa as probabilidades via fatores de Boltzmann e^{-E/(k_{B}T)}. Vou denotar \beta=\dfrac{1}{k_{B}T} para simplificar a escrita.

Passo 3

Partição e magnetização por átomo (média do momento magnético).
  • O fator de Boltzmann para os dois estados é e^{\beta\mu B} para E_{+} e e^{-\beta\mu B} para E_{-}. O somatório desses fatores é a função partição (por átomo):
Z = e^{\beta\mu B} + e^{-\beta\mu B} = 2\operatorname{cosh}\!\bigl(\beta\mu B\bigr).
  • A média do momento magnético por átomo na direção do campo é o valor esperado de \mu_{z}:
\langle \mu_{z}\rangle = \frac{\mu\;e^{\beta\mu B} + (-\mu)\;e^{-\beta\mu B}}{Z} = \mu\,\frac{e^{\beta\mu B}-e^{-\beta\mu B}}{e^{\beta\mu B}+e^{-\beta\mu B}} = \mu\,\operatorname{tanh}\!\bigl(\beta\mu B\bigr).
  • Explicando em palavras: se \beta\mu B for grande e positivo, e^{\beta\mu B} domina e \langle\mu_{z}\rangle\to\mu (saturação, todos alinhados); se \beta\mu B for pequeno, \operatorname{tanh} x\approx x e a média é proporcional a B/T (lei de Curie).

Passo 4

Magnetização do sólido (parte a).
  • Magnetização M é momento magnético total por unidade de volume; com N_{0} átomos por unidade de volume temos
M = N_{0}\,\langle \mu_{z}\rangle.
  • Substituindo a média encontrada:
\boxed{\,M = N_{0}\,\mu\,\operatorname{tanh}\!\biggl(\dfrac{\mu B}{k_{B}T}\biggr).\,}
  • Comentário prático: para \dfrac{\mu B}{k_{B}T}\ll1 (regime de altas temperaturas ou campos fracos),
\operatorname{tanh} x \approx x \quad\Rightarrow\quad M \approx N_{0}\,\frac{\mu^{2}B}{k_{B}T},
que é a forma da lei de Curie (magnetização proporcional a B/T).

Passo 5

Preparação para (b): probabilidade de spin paralelo e condição numérica pedida.
  • A probabilidade de um átomo estar no estado paralelo é
P_{+}=\frac{e^{\beta\mu B}}{Z}=\frac{1}{2}\bigl(1+\operatorname{tanh}(\beta\mu B)\bigr).
  • Queremos P_{+}>\tfrac{2}{3}. Substituindo a expressão:
\frac{1}{2}\bigl(1+\operatorname{tanh}(\beta\mu B)\bigr)>\frac{2}{3} \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{tanh}(\beta\mu B)>\frac{1}{3}.
  • Assim a condição sobre \beta\mu B é
\beta\mu B > \operatorname{atanh}\!\left(\tfrac{1}{3}\right).
  • Lembrando que \operatorname{atanh}(x)=\tfrac{1}{2}\ln\!\bigl(\tfrac{1+x}{1-x}\bigr). Note que \operatorname{atanh}\!\left(\tfrac{1}{3}\right)=\tfrac{1}{2}\ln 2 (porque \tfrac{1+\tfrac{1}{3}}{1-\tfrac{1}{3}}=\tfrac{4/3}{2/3}=2), então
\operatorname{atanh}\!\left(\tfrac{1}{3}\right)=\tfrac{1}{2}\ln 2\approx 0{,}34657359.

Passo 6

Cálculo numérico da temperatura limite (parte b).
  • Reescrevendo \beta\mu B > \tfrac{1}{2}\ln 2 em termos de T:
\frac{\mu B}{k_{B}T} > \frac{1}{2}\ln 2 \quad\Longrightarrow\quad T < \frac{\mu B}{k_{B}\,\tfrac{1}{2}\ln 2}.
  • Dados numéricos:
    • B = 30\,000 gauss =3 T,
    • \mu=\mu_{B} (magneton de Bohr) com \mu_{B}\approx 9{,}274\times10^{-24}\\ \mathrm{J/T},
    • k_{B}=1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K},
    • \tfrac{1}{2}\ln 2\approx 0{,}34657359.
  • Calcular o numerador \mu B:
\mu B = \mu_{B}\,B \approx 9{,}274\times10^{-24}\times 3 = 2{,}7822\times10^{-23}\\ \mathrm{J}.
  • Dividindo por k_{B} e pelo fator \tfrac{1}{2}\ln 2:
T_{\text{máx}} \approx \frac{2{,}7822\times10^{-23}}{1{,}380649\times10^{-23}\times 0{,}34657359} \approx \frac{2{,}01434}{0{,}34657359}\\ \mathrm{K} \approx 5{,}81\\ \mathrm{K}.á

Passo 7

Interpretação final e incentivo.
  • Conclusão física: para o campo de 3 T e momento de Bohr, é preciso resfriar o sólido abaixo de aproximadamente 5{,}8 K para que mais de 2/3 dos spins fiquem alinhados com o campo. Isso faz sentido: temperaturas bem baixas favorecem o estado de menor energia (spins paralelos).
  • Você já tem a fórmula geral (item a) que vale para qualquer T e B, e a condição numérica (item b). Se quiser, dá pra repetir o cálculo usando outro valor de \mu ou de B — é a mesma receita.

Resposta

M = N_{0}\,\mu\,\operatorname{tanh}\!\biggl(\dfrac{\mu B}{k_{B}T}\biggr)
T < 5{,}81\\ \mathrm{K}

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