Considere o problema das vibrações de rede em um sólido com base no modelo de Einstein, segundo o ensemble microcanônico. (a) Calcule o número de microestados \Omega(E, N). (b) Obtenha a entropia s(u) por partícula no limite termodinâmico. (c) Encontre a equação de estado térmica na representação da entropia. (d) Encontre a expressão para o calor específico c(T)=\partial u / \partial T. (e) Faça um esboço dessa função e discuta o seu limite clássico. Explique.

Passo 1

O enunciado dá o modelo de Einstein para vibrações de rede (cada átomo é um oscilador harmônico quântico de mesma frequência \omega) e pede, no ensemble microcanônico, estimar propriedades termodinâmicas. Em particular:
  • Informações fornecidas:
    • Número de osciladores: N.
    • Energia total do sistema: E.
    • Níveis de energia de cada oscilador: \epsilon_n=\hbar\omega\,(n+\tfrac12), com n=0,1,2,\dots.
    • Podemos definir o número total de quanta de energia q=\sum_{i=1}^N n_i. Então E=\hbar\omega\,(q+\tfrac{N}{2}).
  • O que o enunciado pede:
    (a) calcular o número de microestados \Omega(E,N) compatíveis com E e N (microcanônico);
    (b) obter a entropia por partícula s(u) no limite termodinâmico, onde u=E/N é a energia por partícula;
    (c) encontrar a equação de estado térmica na representação da entropia (relação envolvendo T);
    (d) encontrar o calor específico c(T)=\partial u/\partial T;
    (e) esboçar e discutir c(T) e o limite clássico.

Passo 2

Contagem microestados (ideia física + combinatória).
  • Interpretação física: distribuir q quanta idênticos entre N osciladores distintos; cada oscilador pode ter n_i\ge0.
  • Problema combinatório conhecido: número de maneiras de repartir q objetos indistinguíveis em N caixas distinguíveis (permitindo caixas vazias) é
\Omega=\binom{q+N-1}{q}.
  • Relacione q com E: como mencionado, os níveis têm zero-ponto, então
q=\frac{E}{\hbar\omega}-\frac{N}{2},
assumindo que o lado direito é um inteiro (ou trabalhando depois em aproximações contínuas para E macroscópico). Portanto a expressão exata para o número de microestados é a binomial acima com esse q.

Passo 3

Escrevendo explicitamente \Omega(E,N) (resposta do item (a)) e comentando.
  • Substituindo q obtemos
\boxed{\Omega(E,N)=\binom{q+N-1}{q},\quad q=\dfrac{E}{\hbar\omega}-\dfrac{N}{2}.}
  • Observação pedagógica: essa forma conta todas as configurações (n_1,\dots,n_N) com \sum n_i=q. É a base microcanônica: todos os microestados com mesma energia são igualmente prováveis.

Passo 4

Entropia microcanônica e limite termodinâmico — preparação teórica (Stirling).
  • Entropia microcanônica: S(E,N)=k_B\ln\Omega(E,N).
  • Para N grande (limite termodinâmico) usamos a aproximação de Stirling
\ln m! \simeq m\ln m - m \quad (m\gg1),
que permite simplificar \ln\binom{q+N-1}{q}.
  • Defina a energia por partícula u=E/N e a variável adimensional
x\equiv\frac{q}{N}=\frac{u}{\hbar\omega}-\frac12.
Assim q= Nx e q+N = N(1+x). Agora aplicamos Stirling com q, N, q+N grandes.

Passo 5

Cálculo detalhado da entropia por partícula s(u) (item (b)).
  • Começamos por
\ln\Omega \simeq (q+N)\ln(q+N)-q\ln q - N\ln N.
Dividindo por N e substituindo q= Nx:
\frac{1}{N}\ln\Omega \simeq (1+x)\ln\big(N(1+x)\big) - x\ln\big(Nx\big) - \ln N.
Agora separam-se os termos \ln N:
\frac{1}{N}\ln\Omega \simeq (1+x)(\ln N + \ln(1+x)) - x(\ln N + \ln x) - \ln N.
Os termos com \ln N cancelam:
\frac{1}{N}\ln\Omega \simeq (1+x)\ln(1+x) - x\ln x.
Multiplicando por k_B obtemos a entropia por partícula
\boxed{s(u)=\frac{S}{N}=k_B\big[(1+x)\ln(1+x)-x\ln x\big],\quad x=\frac{u}{\hbar\omega}-\frac12.}
  • Comentário didático: essa forma é típica de contagens de ocupação (entropia combinatória). Note que o zero-ponto entra na definição de x, mas a parte da entropia depende apenas do número de quanta excitados por oscilador.

Passo 6

Equação de estado térmica na representação da entropia (item (c)) — obtenção de T.
  • No ensemble microcanônico:
\frac{1}{T}=\left(\frac{\partial S}{\partial E}\right)_N.
Como S=N s(u) e u=E/N, temos \partial S/\partial E = \mathrm{d}s/\mathrm{d}u.
  • Calcule \mathrm{d}s/\mathrm{d}u usando s como função de x e x(u). Primeiro derivada em relação a x:
\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}=k_B\big[\ln(1+x)+1 -\ln x -1\big]=k_B\ln\!\left(\frac{1+x}{x}\right).
E \mathrm{d}x/\mathrm{d}u=1/(\hbar\omega). Então
\frac{1}{T}=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}u}=\frac{k_B}{\hbar\omega}\ln\!\left(\frac{1+x}{x}\right).
  • Esta é a equação de estado na representação entropia. Podemos rearranjar para escrever x em função de \beta\equiv 1/(k_B T):
\beta\hbar\omega=\ln\!\left(\frac{1+x}{x}\right) \quad\Rightarrow\quad x=\frac{1}{e^{\beta\hbar\omega}-1}.
  • Usando u=\hbar\omega\,(x+\tfrac12) obtemos a forma familiar
\boxed{u=\hbar\omega\left(\tfrac12+\frac{1}{e^{\hbar\omega/(k_B T)}-1}\right).}
  • Observação pedagógica: essa igualdade coincide com o resultado do ensemble canônico (média de energia por oscilador). Assim a abordagem microcanônica, no limite termodinâmico, dá o mesmo u(T) do canônico — boa consistência física.

Passo 7

Cálculo do calor específico por partícula c(T)=\partial u/\partial T (item (d)), passo a passo.
  • Defina y\equiv\beta\hbar\omega=\dfrac{\hbar\omega}{k_B T} e escreva a parte dependente de T de u (ignorando a constante de zero-ponto \tfrac12\hbar\omega, que não contribui para c):
u-\tfrac12\hbar\omega = \frac{\hbar\omega}{e^{y}-1}.
  • Derive em relação a T. Método: c=\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}T}=\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}T}.
    • \dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y} = \hbar\omega\cdot\left(-\dfrac{e^{y}}{(e^{y}-1)^2}\right).
    • \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}T} = -\dfrac{\hbar\omega}{k_B T^2} = -\dfrac{y}{T}.
  • Multiplicando:
c(T)=\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}T} = \hbar\omega\cdot\frac{e^{y}}{(e^{y}-1)^2}\cdot\frac{y}{T}.
  • Reescrevendo em forma usual em termos de y e k_B:
\frac{y}{T}=\frac{\hbar\omega}{k_B T^2}\quad\Rightarrow\quad c(T)=\frac{(\hbar\omega)^2}{k_B T^2}\frac{e^{y}}{(e^{y}-1)^2}.
Multiplicando e dividindo convenientemente por k_B, fica elegante como
\boxed{c(T)=k_B\,y^2\frac{e^{y}}{(e^{y}-1)^2},\qquad y\equiv\frac{\hbar\omega}{k_B T}.}
  • Observação: c(T) aqui é o calor específico por oscilador (por partícula). Para um sólido 3D com três modos por átomo, multiplica-se por 3.

Passo 8

Limites assintóticos e interpretação física (início do item (e)).
  • Defina a temperatura de Einstein \Theta_E\equiv\hbar\omega/k_B. Então y=\Theta_E/T é a variável adimensional que determina o comportamento.
  • Limite T\gg\Theta_E (clássico, y\ll1):
    • Expansão para y\ll1: e^{y}-1\simeq y + y^2/2+\dots.
    • Usando essa expansão em c(T)=k_B\,y^2 e^{y}/(e^{y}-1)^2 e desenvolvendo, obtém-se
    c(T)\simeq k_B\quad\text{quando }T\gg\Theta_E.
    • Interpretação: cada oscilador harmônico contribui com k_B ao calor específico clássico (por grau de liberdade harmônico é k_B), e para um átomo no sólido com 3 osciladores dá 3k_B (lei de Dulong–Petit).
  • Limite T\ll\Theta_E (quântico, y\gg1):
    • Para y\gg1, e^{y}\gg1 então c(T)\approx k_B\,y^2 e^{-y}: decaimento exponencial rápido para zero.
    • Interpretação: a maioria dos osciladores está no estado fundamental (congelamento quântico das excitações), logo calor específico tende a zero conforme T\to0 (termo zero-ponto não contribui para c).

Passo 9

Esboço qualitativo de c(T) e discussão final (comunicação amigável).
  • Forma do gráfico (por partícula): eixo horizontal T/\Theta_E, eixo vertical c/k_B.
    • Para T/\Theta_E \ll 1: c/k_B próximo de 0 (decaimento exponencial).
    • Ao aumentar T atravessa uma região de crescimento acentuado ao redor de T\sim\Theta_E.
    • Para T/\Theta_E \gg 1: c/k_B\to1 (plateau clássico).
  • Comentários encorajadores: não se assuste com as contas — a chave é a contagem combinatória (binomial), uso de Stirling e a relação termodinâmica 1/T=\partial S/\partial E. A conexão bonita é que da contagem microcanônica surge exatamente a ocupação de Bose do modo do oscilador e, daí, a expressão conhecida de Einstein para c(T).
  • Observação física final: o zero-ponto \tfrac12\hbar\omega aparece em u mas cancela na derivada; por isso o calor específico é puramente devido às excitações térmicas. No modelo de Einstein o decaimento em baixas temperaturas é exponencial — contrastando com o modelo de Debye (que leva a c\propto T^3 em baixas T por incluir espectro contínuo de modos acústicos).

Resposta

(a) \displaystyle \Omega(E,N)=\binom{q+N-1}{q},\quad q=\dfrac{E}{\hbar\omega}-\dfrac{N}{2}.
(b) \displaystyle s(u)=k_B\Big[(1+x)\ln(1+x)-x\ln x\Big],\quad x=\dfrac{u}{\hbar\omega}-\dfrac12.
(c) \displaystyle \frac{1}{T}=\frac{k_B}{\hbar\omega}\ln\!\left(\frac{1+x}{x}\right)\quad\Longleftrightarrow\quad u=\hbar\omega\Big(\tfrac12+\dfrac{1}{e^{\hbar\omega/(k_BT)}-1}\Big).
(d) \displaystyle c(T)=\frac{\partial u}{\partial T}=k_B\;y^{2}\frac{e^{y}}{(e^{y}-1)^2},\quad y\equiv\frac{\hbar\omega}{k_B T}.
(e) Esboço/limites: c(T) sobe de 0 (para T\to0) para um plateau c\to k_B quando T\gg\Theta_E ( \Theta_E=\hbar\omega/k_B). Em particular, c\sim k_B\,y^{2}e^{-y} para y\gg1 (decai exponencialmente) e c\to k_B para y\ll1 (limite clássico, lei de Dulong–Petit por oscilador).

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