Considere o problema das vibrações de rede em um sólido com base no modelo de Einstein, segundo o ensemble microcanônico. (a) Calcule o número de microestados
. (b) Obtenha a entropia
por partícula no limite termodinâmico. (c) Encontre a equação de estado térmica na representação da entropia. (d) Encontre a expressão para o calor específico
. (e) Faça um esboço dessa função e discuta o seu limite clássico. Explique.
Passo 1
O enunciado dá o modelo de Einstein para vibrações de rede (cada átomo é um oscilador harmônico quântico de mesma frequência
) e pede, no ensemble microcanônico, estimar propriedades termodinâmicas. Em particular:
- Informações fornecidas:
- Número de osciladores:
. - Energia total do sistema:
. - Níveis de energia de cada oscilador:
, com . - Podemos definir o número total de quanta de energia
. Então .
- Número de osciladores:
- O que o enunciado pede:
(a) calcular o número de microestadoscompatíveis com e (microcanônico);
(b) obter a entropia por partículano limite termodinâmico, onde é a energia por partícula;
(c) encontrar a equação de estado térmica na representação da entropia (relação envolvendo);
(d) encontrar o calor específico;
(e) esboçar e discutire o limite clássico.
Passo 2
Contagem microestados (ideia física + combinatória).
- Interpretação física: distribuir
quanta idênticos entre osciladores distintos; cada oscilador pode ter . - Problema combinatório conhecido: número de maneiras de repartir
objetos indistinguíveis em caixas distinguíveis (permitindo caixas vazias) é
- Relacione
com : como mencionado, os níveis têm zero-ponto, então
assumindo que o lado direito é um inteiro (ou trabalhando depois em aproximações contínuas para
macroscópico). Portanto a expressão exata para o número de microestados é a binomial acima com esse
.
Passo 3
Escrevendo explicitamente
(resposta do item (a)) e comentando.
- Substituindo
obtemos
- Observação pedagógica: essa forma conta todas as configurações
com . É a base microcanônica: todos os microestados com mesma energia são igualmente prováveis.
Passo 4
Entropia microcanônica e limite termodinâmico — preparação teórica (Stirling).
- Entropia microcanônica:
. - Para
grande (limite termodinâmico) usamos a aproximação de Stirling
que permite simplificar
.
- Defina a energia por partícula
e a variável adimensional
Assim
e
. Agora aplicamos Stirling com
,
,
grandes.
Passo 5
Cálculo detalhado da entropia por partícula
(item (b)).
- Começamos por
Dividindo por
e substituindo
:
Agora separam-se os termos
:
Os termos com
cancelam:
Multiplicando por
obtemos a entropia por partícula
- Comentário didático: essa forma é típica de contagens de ocupação (entropia combinatória). Note que o zero-ponto entra na definição de
, mas a parte da entropia depende apenas do número de quanta excitados por oscilador.
Passo 6
Equação de estado térmica na representação da entropia (item (c)) — obtenção de
.
- No ensemble microcanônico:
Como
e
, temos
.
- Calcule
usando como função de e . Primeiro derivada em relação a :
E
. Então
- Esta é a equação de estado na representação entropia. Podemos rearranjar para escrever
em função de :
- Usando
obtemos a forma familiar
- Observação pedagógica: essa igualdade coincide com o resultado do ensemble canônico (média de energia por oscilador). Assim a abordagem microcanônica, no limite termodinâmico, dá o mesmo
do canônico — boa consistência física.
Passo 7
Cálculo do calor específico por partícula
(item (d)), passo a passo.
- Defina
e escreva a parte dependente de de (ignorando a constante de zero-ponto , que não contribui para ):
- Derive em relação a
. Método: . -
. -
.
-
- Multiplicando:
- Reescrevendo em forma usual em termos de
e :
Multiplicando e dividindo convenientemente por
, fica elegante como
- Observação:
aqui é o calor específico por oscilador (por partícula). Para um sólido 3D com três modos por átomo, multiplica-se por .
Passo 8
Limites assintóticos e interpretação física (início do item (e)).
- Defina a temperatura de Einstein
. Então é a variável adimensional que determina o comportamento. - Limite
(clássico, ): - Expansão para
: . - Usando essa expansão em
e desenvolvendo, obtém-se
- Interpretação: cada oscilador harmônico contribui com
ao calor específico clássico (por grau de liberdade harmônico é ), e para um átomo no sólido com 3 osciladores dá (lei de Dulong–Petit).
- Expansão para
- Limite
(quântico, ): - Para
, então : decaimento exponencial rápido para zero. - Interpretação: a maioria dos osciladores está no estado fundamental (congelamento quântico das excitações), logo calor específico tende a zero conforme
(termo zero-ponto não contribui para ).
- Para
Passo 9
Esboço qualitativo de
e discussão final (comunicação amigável).
- Forma do gráfico (por partícula): eixo horizontal
, eixo vertical . - Para
: próximo de (decaimento exponencial). - Ao aumentar
atravessa uma região de crescimento acentuado ao redor de . - Para
: (plateau clássico).
- Para
- Comentários encorajadores: não se assuste com as contas — a chave é a contagem combinatória (binomial), uso de Stirling e a relação termodinâmica
. A conexão bonita é que da contagem microcanônica surge exatamente a ocupação de Bose do modo do oscilador e, daí, a expressão conhecida de Einstein para . - Observação física final: o zero-ponto
aparece em mas cancela na derivada; por isso o calor específico é puramente devido às excitações térmicas. No modelo de Einstein o decaimento em baixas temperaturas é exponencial — contrastando com o modelo de Debye (que leva a em baixas por incluir espectro contínuo de modos acústicos).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Esboço/limites:
sobe de
(para
) para um plateau
quando
(
). Em particular,
para
(decai exponencialmente) e
para
(limite clássico, lei de Dulong–Petit por oscilador).