Um fabricante garante que 90 \% dos equipamentos que fornece a uma fábrica estão de acordo com as especificações exigidas. O exame de uma amostra de 200 peças desse equipamento revelou 25 defeituosas. Teste a afirmativa do fabricante, nos níveis de 5 \% e 1 \%.

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte (resumindo e listando os dados importantes):
  • O fabricante garante que 90\% dos equipamentos estão de acordo com as especificações.
  • Foi examinada uma amostra de n=200 peças.
  • Foram encontradas 25 peças defeituosas na amostra.
  • Pede-se: testar a afirmativa do fabricante nos níveis de significância 5\% e 1\%.

Passo 2

Vamos traduzir os dados para notação que usamos em testes de proporção e deixar claro o que vamos decidir:
  • Seja p a proporção real de equipamentos que estão de acordo com as especificações (ou seja, conformes).
  • A afirmativa do fabricante é que p=0,90.
  • A partir da amostra, podemos estimar p e fazer um teste de hipótese para verificar se os dados contradizem a afirmação.
Escolha da hipótese alternativa: como o enunciado diz simplesmente “teste a afirmativa do fabricante” (sem especificar que só queremos ver se é menor ou maior), o procedimento padrão é testar contra alternativa bilateral:
H_0: p = 0,90
H_1: p \neq 0,90
(Observação: se alguém preferisse testar apenas se a proporção real é menor que 0,90 — uma alternativa unidirecional H_1: p<0,90 — eu também mostro o resultado mais abaixo; mas a escolha padrão para “testar uma afirmativa” é alternativa bilateral.)

Passo 3

Calcular a proporção amostral observada:
  • Na amostra de 200 peças, 25 são defeituosas, então o número conforme é 200-25=175.
  • A proporção amostral de conformes é
\hat{p}=\frac{175}{200}=0,875.

Passo 4

Verificar se podemos usar a aproximação normal (condição do teste z para proporção):
  • Sob H_0, np_0 = 200\cdot 0,90 = 180 \ge 5.
  • E n(1-p_0)=200\cdot 0,10=20 \ge 5.
    Portanto a aproximação normal (test estatístico z) é adequada.

Passo 5

Construir o estatístico de teste (explicando a fórmula):
  • Para teste de proporção sob H_0 usamos o estatístico
z=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}},
onde:
  • \hat{p} é a proporção observada na amostra (a estimativa de p);
  • p_0 é a proporção sob a hipótese nula;
  • n é o tamanho da amostra;
  • o denominador \sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}} é o erro padrão da proporção sob H_0.
Calcular passo a passo:
  • Diferença \hat{p}-p_0 = 0,875-0,90 = -0,025.
  • Calcular o erro padrão:
\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}=\sqrt{\frac{0,90\cdot 0,10}{200}}=\sqrt{\frac{0,09}{200}}=\sqrt{0,00045}\approx 0,021213.
  • Então
z=\frac{-0,025}{0,021213}\approx -1,1785\quad(\text{aprox. }z\approx -1,18).

Passo 6

Determinar as regiões críticas (valores críticos) para o teste bilateral:
  • Para nível de significância \alpha=0,05 (bilateral) os quantis críticos são z_{\alpha/2}=\pm 1,96.
  • Para nível \alpha=0,01 (bilateral) os quantis críticos são z_{\alpha/2}=\pm 2,576 (aprox.).
Comparar o z calculado:
  • Encontramos z\approx -1,18, que está dentro do intervalo [-1,96,\;1,96] e também dentro de [-2,576,\;2,576].
    Portanto, para os dois níveis ( 5\% e 1\%) não há evidência suficiente para rejeitar H_0.

Passo 7

Calcular o p-valor (interpretação numérica da evidência):
  • Para z\approx -1,1785 a cauda esquerda tem probabilidade aproximadamente \Phi(-1,1785)\approx 0,1193.
  • Como o teste é bilateral, o p-valor é
\text{p-valor} = 2\cdot \Phi(-|z|) \approx 2\cdot 0,1193 \approx 0,2386.
  • Conclusão pelo p-valor: 0,2386 > 0,05 e 0,2386 > 0,01, portanto também pelo critério do p-valor não rejeitamos H_0 em nenhum dos dois níveis.

Passo 8

Comentário sobre teste unilateral (caso alguém quisesse testar H_1: p<0,90):
  • Para teste unilateral à esquerda os valores críticos seriam z_{0,05}=-1,645 e z_{0,01}=-2,33.
  • Como z\approx -1,18 > -1,645, também não rejeitaríamos H_0 em níveis 5\% nem 1\% no teste unilateral à esquerda.
    Ou seja, quer se use alternativa bilateral ou unilateral à esquerda, os dados não fornecem evidência suficiente para contradizer a afirmativa do fabricante.

Passo 9

Interpretação prática e final (tom de incentivo):
  • Resumindo: a amostra mostrou uma proporção amostral de conformes 0,875, um pouco abaixo dos 0,90 declarados, mas a diferença não é estatisticamente significativa com n=200.
  • O p-valor bilateral é aproximadamente 0,239, bem maior que 0,05 e 0,01. Então não há motivo estatístico para rejeitar a garantia do fabricante com os dados fornecidos. Continua sendo plausível que a proporção verdadeira seja 0,90.

Resposta

Não se rejeita H_0 ao nível de 5\% (p-valor bilateral \approx 0,239); logo não há evidência estatística para contradizer a afirmativa do fabricante.
Não se rejeita H_0 ao nível de 1\% (p-valor bilateral \approx 0,239); logo não há evidência estatística para contradizer a afirmativa do fabricante.

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