Um fabricante garante que
dos equipamentos que fornece a uma fábrica estão de acordo com as especificações exigidas. O exame de uma amostra de 200 peças desse equipamento revelou 25 defeituosas. Teste a afirmativa do fabricante, nos níveis de
e
.
Passo 1
O enunciado nos dá e pede o seguinte (resumindo e listando os dados importantes):
- O fabricante garante que
dos equipamentos estão de acordo com as especificações. - Foi examinada uma amostra de
peças. - Foram encontradas
peças defeituosas na amostra. - Pede-se: testar a afirmativa do fabricante nos níveis de significância
e .
Passo 2
Vamos traduzir os dados para notação que usamos em testes de proporção e deixar claro o que vamos decidir:
- Seja
a proporção real de equipamentos que estão de acordo com as especificações (ou seja, conformes). - A afirmativa do fabricante é que
. - A partir da amostra, podemos estimar
e fazer um teste de hipótese para verificar se os dados contradizem a afirmação.
Escolha da hipótese alternativa: como o enunciado diz simplesmente “teste a afirmativa do fabricante” (sem especificar que só queremos ver se é menor ou maior), o procedimento padrão é testar contra alternativa bilateral:
(Observação: se alguém preferisse testar apenas se a proporção real é menor que
— uma alternativa unidirecional
— eu também mostro o resultado mais abaixo; mas a escolha padrão para “testar uma afirmativa” é alternativa bilateral.)
Passo 3
Calcular a proporção amostral observada:
- Na amostra de
peças, são defeituosas, então o número conforme é . - A proporção amostral de conformes é
Passo 4
Verificar se podemos usar a aproximação normal (condição do teste z para proporção):
- Sob
, . - E
.
Portanto a aproximação normal (test estatístico z) é adequada.
Passo 5
Construir o estatístico de teste (explicando a fórmula):
- Para teste de proporção sob
usamos o estatístico
onde:
-
é a proporção observada na amostra (a estimativa de ); -
é a proporção sob a hipótese nula; -
é o tamanho da amostra; - o denominador
é o erro padrão da proporção sob .
Calcular passo a passo:
- Diferença
- Calcular o erro padrão:
- Então
Passo 6
Determinar as regiões críticas (valores críticos) para o teste bilateral:
- Para nível de significância
(bilateral) os quantis críticos são . - Para nível
(bilateral) os quantis críticos são (aprox.).
Comparar o
calculado:
- Encontramos
, que está dentro do intervalo e também dentro de .
Portanto, para os dois níveis (e ) não há evidência suficiente para rejeitar .
Passo 7
Calcular o p-valor (interpretação numérica da evidência):
- Para
a cauda esquerda tem probabilidade aproximadamente . - Como o teste é bilateral, o p-valor é
- Conclusão pelo p-valor:
e , portanto também pelo critério do p-valor não rejeitamos em nenhum dos dois níveis.
Passo 8
Comentário sobre teste unilateral (caso alguém quisesse testar
):
- Para teste unilateral à esquerda os valores críticos seriam
e . - Como
, também não rejeitaríamos em níveis nem no teste unilateral à esquerda.
Ou seja, quer se use alternativa bilateral ou unilateral à esquerda, os dados não fornecem evidência suficiente para contradizer a afirmativa do fabricante.
Passo 9
Interpretação prática e final (tom de incentivo):
- Resumindo: a amostra mostrou uma proporção amostral de conformes
, um pouco abaixo dos declarados, mas a diferença não é estatisticamente significativa com . - O p-valor bilateral é aproximadamente
, bem maior que e . Então não há motivo estatístico para rejeitar a garantia do fabricante com os dados fornecidos. Continua sendo plausível que a proporção verdadeira seja .
Resposta
Não se rejeita
ao nível de
(p-valor bilateral
); logo não há evidência estatística para contradizer a afirmativa do fabricante.
Não se rejeita ao nível de
(p-valor bilateral
); logo não há evidência estatística para contradizer a afirmativa do fabricante.
Não se rejeita