Carla suspeita que quanto mais as pessoas se exercitam, mais a sua temperatura corporal muda. Ela selecionou aleatoriamente pessoas e falou para elas exercitarem-se 30 ou 60 minutos e depois medirem suas temperaturas. As 18 pessoas que se exercitaram por 30 minutos atingiram uma temperatura média de 38,3^{\circ} \mathrm{C}, com desvio padrão de 0,27^{\circ} \mathrm{C}. As 24 pessoas que se exercitaram por 60 minutos atingiram uma temperatura média de 38,9^{\circ} \mathrm{C}, com desvio padrão de 0,29^{\circ} \mathrm{C}. Suponha que as condições para inferência foram atendidas, e que Carla usará graus de liberdade conservadores, do menor tamanho de amostra. Qual das seguintes alternativas é um
intervalo de confiança de 90 \% para a diferença das temperaturas corporais médias depois de se exercitar para as duas quantidades de tempo?
a) (38,9-38,3) \pm 1,74 * 0,0077136
b) (38,9-38,3) \pm 1,74 * 0,087827
c) (38,9-38,3) \pm 1,33 * 0,0077136
d) (38,9-38,3) \pm 1,33 * 0,087827

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados (peguei tudo do enunciado):
  • Grupo A (exercício por 30 minutos): n_A=18, média \bar{x}_A=38{,}3^\circ\mathrm{C}, desvio padrão s_A=0{,}27^\circ\mathrm{C}.
  • Grupo B (exercício por 60 minutos): n_B=24, média \bar{x}_B=38{,}9^\circ\mathrm{C}, desvio padrão s_B=0{,}29^\circ\mathrm{C}.
O que é pedido:
  • Determinar qual das alternativas (a), (b), (c) ou (d) é o intervalo de confiança de 90\% para a diferença das temperaturas médias após os dois tempos de exercício, sabendo que Carla usará graus de liberdade conservadores (ou seja, os do menor tamanho de amostra).

Passo 2

Qual é a forma do intervalo de confiança que vamos usar e o que cada símbolo significa?
Para duas amostras independentes (sem assumir variâncias iguais) o intervalo de confiança para a diferença de médias \mu_B-\mu_A costuma ser dado por
\bar{x}_B-\bar{x}_A \pm t^* \cdot \text{SE},
onde:
  • \bar{x}_B-\bar{x}_A é a diferença das médias amostrais (o ponto-estimador),
  • t^* é o valor crítico da distribuição t com os graus de liberdade escolhidos (aqui, conservadormente, os do menor grupo),
  • \text{SE} é o erro-padrão da diferença das médias e vale
\text{SE}=\sqrt{\frac{s_A^{2}}{n_A}+\frac{s_B^{2}}{n_B}}.
Explicando bem devagar: s_A^{2} é a variância amostral do grupo A, dividir por n_A dá uma contribuição à variância da média do grupo A; fazemos o mesmo para B e somamos porque as amostras são independentes; depois tiramos raiz para voltar à escala de desvio-padrão.

Passo 3

Escolher t^*. O enunciado diz usar graus de liberdade conservadores: isso significa usar \text{df}=\min(n_A,n_B)-1. Aqui \min(18,24)-1=17. Para um intervalo de 90\% (dois lados), precisamos de t_{1-\alpha/2} com \alpha=0{,}10, então t^*=t_{0{,}95,\,17}.
Tabela de t ou calculadora dá aproximadamente
t^*\approx 1{,}739\approx 1{,}74.

Passo 4

Calcular o erro-padrão \text{SE} passo a passo.
Primeiro as variâncias divididas pelos tamanhos:
\frac{s_A^{2}}{n_A}=\frac{(0{,}27)^{2}}{18}=\frac{0{,}0729}{18}=0{,}00405,
\frac{s_B^{2}}{n_B}=\frac{(0{,}29)^{2}}{24}=\frac{0{,}0841}{24}=0{,}003504166\ldots
Somando:
\frac{s_A^{2}}{n_A}+\frac{s_B^{2}}{n_B}=0{,}00405+0{,}003504166\ldots=0{,}007554166\ldots
Agora a raiz:
\text{SE}=\sqrt{0{,}007554166\ldots}\approx 0{,}08693\approx 0{,}087.
Observação: esta é a forma correta do \text{SE}. Algumas alternativas do enunciado apresentam um número parecido mas ou sem raiz ou com termos trocados; vamos confrontar isso adiante.

Passo 5

Calcular a margem de erro e o intervalo numérico.
A diferença das médias é
\bar{x}_B-\bar{x}_A=38{,}9-38{,}3=0{,}6.
A margem de erro é
t^*\cdot\text{SE}\approx 1{,}74\times 0{,}08693\approx 0{,}1513.
Portanto o intervalo de confiança de 90\% é
0{,}6 \pm 0{,}1513,
ou seja
(0{,}6-0{,}1513,\;0{,}6+0{,}1513)\approx(0{,}4487,\;0{,}7513).

Passo 6

Comparar com as alternativas dadas:
  • A alternativa (a) usa 1{,}74 (ok) mas multiplica por 0{,}0077136 — esse número parece ser uma soma de variâncias (não a raiz), logo ela está usando a quantidade errada (usar a variância em vez do erro-padrão). Portanto (a) está errada.
  • A alternativa (b) escreve (38{,}9-38{,}3)\pm 1{,}74\cdot 0{,}087827. Nosso \text{SE}\approx 0{,}08693 e 0{,}087827 é muito próximo (diferença de arredondamento ou pequena inversão nos índices); multiplicado por 1{,}74 dá margem muito próxima de 0{,}151, que coincide com nosso cálculo. A forma (\bar{x}_B-\bar{x}_A)\pm 1{,}74\cdot(\text{SE}) é a forma correta.
  • As alternativas (c) e (d) usam 1{,}33 como t^*, que não corresponde ao valor de t para 90\% com \text{df}=17 (e mesmo para outros graus de liberdade esse valor não bate). Logo (c) e (d) estão erradas.
Portanto a alternativa que corresponde ao intervalo correto é a (b).

Resposta

b)

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