Carla suspeita que quanto mais as pessoas se exercitam, mais a sua temperatura corporal muda. Ela selecionou aleatoriamente pessoas e falou para elas exercitarem-se 30 ou 60 minutos e depois medirem suas temperaturas. As 18 pessoas que se exercitaram por 30 minutos atingiram uma temperatura média de
, com desvio padrão de
. As 24 pessoas que se exercitaram por 60 minutos atingiram uma temperatura média de
, com desvio padrão de
. Suponha que as condições para inferência foram atendidas, e que Carla usará graus de liberdade conservadores, do menor tamanho de amostra. Qual das seguintes alternativas é um
intervalo de confiança de
para a diferença das temperaturas corporais médias depois de se exercitar para as duas quantidades de tempo?
a)
b)
c)
d)
intervalo de confiança de
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados (peguei tudo do enunciado):
- Grupo A (exercício por 30 minutos):
, média , desvio padrão . - Grupo B (exercício por 60 minutos):
, média , desvio padrão .
O que é pedido:
- Determinar qual das alternativas (a), (b), (c) ou (d) é o intervalo de confiança de
para a diferença das temperaturas médias após os dois tempos de exercício, sabendo que Carla usará graus de liberdade conservadores (ou seja, os do menor tamanho de amostra).
Passo 2
Qual é a forma do intervalo de confiança que vamos usar e o que cada símbolo significa?
Para duas amostras independentes (sem assumir variâncias iguais) o intervalo de confiança para a diferença de médias
costuma ser dado por
onde:
-
é a diferença das médias amostrais (o ponto-estimador), -
é o valor crítico da distribuição com os graus de liberdade escolhidos (aqui, conservadormente, os do menor grupo), -
é o erro-padrão da diferença das médias e vale
Explicando bem devagar:
é a variância amostral do grupo A, dividir por
dá uma contribuição à variância da média do grupo A; fazemos o mesmo para B e somamos porque as amostras são independentes; depois tiramos raiz para voltar à escala de desvio-padrão.
Passo 3
Escolher
. O enunciado diz usar graus de liberdade conservadores: isso significa usar
. Aqui
. Para um intervalo de
(dois lados), precisamos de
com
, então
.
Tabela de
ou calculadora dá aproximadamente
Passo 4
Calcular o erro-padrão
passo a passo.
Primeiro as variâncias divididas pelos tamanhos:
Somando:
Agora a raiz:
Observação: esta é a forma correta do
. Algumas alternativas do enunciado apresentam um número parecido mas ou sem raiz ou com termos trocados; vamos confrontar isso adiante.
Passo 5
Calcular a margem de erro e o intervalo numérico.
A diferença das médias é
A margem de erro é
Portanto o intervalo de confiança de
é
ou seja
Passo 6
Comparar com as alternativas dadas:
- A alternativa (a) usa
(ok) mas multiplica por — esse número parece ser uma soma de variâncias (não a raiz), logo ela está usando a quantidade errada (usar a variância em vez do erro-padrão). Portanto (a) está errada. - A alternativa (b) escreve
. Nosso e é muito próximo (diferença de arredondamento ou pequena inversão nos índices); multiplicado por dá margem muito próxima de , que coincide com nosso cálculo. A forma é a forma correta. - As alternativas (c) e (d) usam
como , que não corresponde ao valor de para com (e mesmo para outros graus de liberdade esse valor não bate). Logo (c) e (d) estão erradas.
Portanto a alternativa que corresponde ao intervalo correto é a (b).
Resposta
b)