Calcule a magnitude da força elétrica entre um carga pontual q=2.10^-7 C e uma esfera condutora descarregada de raio R=10 cm. A carga pontual está localizada a uma distância d=20 cm do centro da esfera. (k=9.10^9 N cdot m^2 / C^2)
a) 3,1 mN
b) 3,3 mN
c) 3,5 mN
d) 3,7 mN
e) 3,9 mN

Passo 1

O enunciado nos dá uma carga pontual q=2cdot10^-7,C e uma esfera condutora neutra (isolada) de raio R=0,10,m. A carga pontual está a uma distância d=0,20,m do centro da esfera. Pede-se a magnitude da força elétrica de atração entre elas. Para resolver isso vamos usar o método de imagens em eletrostática, que nos permite substituir a esfera condutora neutra por duas cargas-imagem que satisfazem a condição de potencial constante na superfície e de carga total zero na esfera.

Passo 2

Para uma esfera condutora isolada e neutra, de raio R, com uma carga externa q a uma distância d do centro, o método de imagens introduz duas cargas-imagem interiores:
  • Uma carga
q1 = -,q,Rd
localizada a uma distância
a1 = R^2d
do centro da esfera, e
  • Uma carga no centro da esfera
q2 = +,q,Rd
que garante que a carga total induzida na esfera seja zero.

Passo 3

A carga externa q interage com q1 (atração) e com q2 (repulsão). As distâncias relevantes são:
  • entre q e q1: d - a1 = d - tfracR^2d.
  • entre q e q2: d.
    Pela lei de Coulomb, as magnitudes dessas forças são
F1 = k,|q,q1|(d - a1)^2, F2 = k,q,q2d^2
Como q1<0 e q2>0, a força resultante de atração vale
F = F1 - F2

Passo 4

Substituindo q1 e q2 em termos de q, R e d, obtemos
F1 = k,q^2,Rdl(d - R^2dr)^2 = k,q^2,Rd,1l(d^2-R^2dr)^2 = k,q^2,R,d^2(d^2-R^2)^2,
F2 = k,q^2,Rdd^2 = k,q^2,Rd^3
Logo
F = k,q^2,R!l(d^2(d^2-R^2)^2-1d^3r) = k,q^2,R^3,(2d^2-R^2)d^3,(d^2-R^2)^2

Passo 5

Agora basta substituir os valores numéricos:
k=9,10^9,Ncdot m^2/C^2,; q=2cdot10^-7,C,; R=0,10,m,; d=0,20,m
Calculando numericamente
Fapprox3,5times10^-3,N=3,5,mN

Resposta

c) 3,5,mN

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