Se tem um cone regular compacto, com raio de base circular (R), altura H=50 cm e carga elétrica Q=6.10^-6 C, distribuída uniformemente em seu volume. Calcule a magnitude da força elétrica que o cone exerce sobre uma partícula de carga q=2.10^-8 C, localizado no seu vértice ( R=raiz3 H, k=9.10^9 N cdot m^2 / C^2, m=10^-3 )
a) 1,56 mN
b) 1,76 mN
c) 1,96 mN
d) 2,16 mN
e) 2,36 mN

Passo 1

O enunciado dá um cone de altura H=50 cm=0,50 m e raio de base R, com carga total Q=6times10^-6 C distribuída uniformemente no volume. Pede a força sobre uma carga de prova q=2times10^-8 C colocada no vértice. Vamos usar eletrostática de volume e coordenadas cilíndricas para calcular o campo no vértice.

Passo 2

Escolhemos o eixo z passando pelo vértice (origem) até o centro da base do cone em z=H. Num elemento de volume em coordenadas cilíndricas temos
dQ = rho,dV com rho = QVolcone = Qtfrac13pi R^2H = 3Qpi R^2H
Em coordenadas (s,phi,z) o volume é dV = s,ds,dphi,dz.

Passo 3

O elemento de campo no vértice, pela lei de Coulomb, contribui com componente axial
dEz = k,dQr^2costheta = k,rho,s,ds,dphi,dz(s^2+z^2);zraizs^2+z^2 = k,rho,z,2pi,s,ds,dz(s^2+z^2)^3/2
Integramos primeiro em s de 0 até a borda do cone em cada z, onde o raio da seção é smax=(R/H),z. O integral em s
integral0^(R/H)zs,ds(s^2+z^2)^3/2 = 1zl(1-zraizz^2+(Rz/H)^2r) = 1zl(1-1raiz1+(R/H)^2r)

Passo 4

Como o fator l(1-1/raiz1+(R/H)^2r) é constante em z, o campo resultante é
Ez =2pi k,rho integral0^H!z;1zl(1-1raiz1+(R/H)^2r),dz =2pi k,rho,H;l(1-1raiz1+(R/H)^2r)
Como R=raiz3,H, tem 1+(R/H)^2=1+3=4 e portanto
1-1raiz4 =1-tfrac12=tfrac12
Logo
Ez =2pi k,rho,H;tfrac12 =pi k,rho,H
Substituindo rho=3Q/(pi R^2H) vem
Ez =pi k;3Qpi R^2H,H =3kQR^2

Passo 5

A força sobre a carga q no vértice é
F = q,Ez = 3k,Q,qR^2
Numericamente, com k=9times10^9, Q=6times10^-6, q=2times10^-8 e R=raiz3,(0,50)=0,866 m,
R^2=0,75,, 3kQq = 3cdot9times10^9cdot6times10^-6cdot2times10^-8 =3,24times10^-3,
F = 3,24times10^-30,75 =4,32times10^-3 N =4,32 mN

Resposta

A força calculada é Fapprox4,32 mN, valor que não coincide com nenhuma das alternativas fornecidas.

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