Um disco muito fino de raio a = 3 0 c m, possui uma densidade superficial de carga que varia com “r” segundo a relação sigma=sigma0(r / a), sendo sigma0=2.10^-8 C / m^2 uma constante. Calcule a carga total do disco. ( n=10^-9 )
a) 3,71 nC
b) 3,73 nC
c) 3,75 nC
d) 3,77 nC
e) 3,79 nC

Passo 1

O enunciado dá um disco fino de raio a=30 cm com densidade superficial de carga que varia radialmente segundo
sigma(r)=sigma0,ra,
onde sigma0=2times10^-8 C/m^2. Queremos a carga total Q. O conteúdo é integração de densidade superficial em coordenadas polares.

Passo 2

Para calcular a carga total, escrevemos o elemento de área em coordenadas polares:
dA = r,dr,dtheta
O elemento de carga é
dQ = sigma(r),dA = sigma0,ra,r,dr,dtheta = sigma0,r^2a,dr,dtheta

Passo 3

Agora montamos a integral em theta de 0 a 2pi e em r de 0 a a:
Q = integral0^2pi!integral0^a sigma0,r^2a,dr,dtheta

Passo 4

Integramos primeiro em r:
integral0^a r^2a,dr = 1a,a^33 = a^23
Logo
Q = integral0^2pi sigma0,a^23,dtheta = sigma0,a^23,(2pi) = 2pi,sigma0,a^23

Passo 5

Substituímos sigma0=2times10^-8 C/m^2 e a=0,30 m:
Q = 2pi,(2times10^-8),(0,30)^23 = 2pi,(2times10^-8),(0,09)3 = 2pi,(1,8times10^-9)3 = 0,6pitimes10^-9 C
Como piapprox3,1416, temos
Q approx 0,6times3,1416times10^-9 C approx3,77times10^-9 C =3,77 nC

Resposta

d) 3,77 nC

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