A expressão:
é a densidade de uma carga volumétrica em coordenadas esféricas, sendo que
o ângulo formado pela projeção de “r” sobre o plano XY com o eixo X. Calcule a quantidade de carga no volume esférico fechado por
. (
)
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá a densidade volumétrica em coordenadas esféricas
sendo
o ângulo azimutal e pede a carga total
dentro da esfera de raio
. Vamos usar a integral tripla em esféricas
Passo 2
Substituindo
e o elemento de volume
temos
Passo 3
Note que
, de modo que o integrando fica constante em
e dependente só de fatores separados:
Passo 4
Calculamos as integrais angulares:
(portanto o produto é
).
Passo 5
Para a parte radial fazemos
,
, de 0 a 5:
Logo
Passo 6
Agora substituímos
e
:
Multiplicando por
dá
Resposta
e)
pC