A expressão: rho(r, emptyset)=rhoo e^-r / ro cos ^2 emptyset /(rro)^2 é a densidade de uma carga volumétrica em coordenadas esféricas, sendo que phi o ângulo formado pela projeção de “r” sobre o plano XY com o eixo X. Calcule a quantidade de carga no volume esférico fechado por r=5 ro. ( rho0=2.10^-10 C / m^2, r0=20 cm, p=10^-12 )
a) 9,11 rho C
b) 9,33 rho C
c) 9,55 rho C
d) 9,77 rho C
e) 9,99 rho C

Passo 1

O enunciado dá a densidade volumétrica em coordenadas esféricas
rho(r,phi)=rho0,e^-r/r0;cos^2phil(r/r0r)^2
sendo phi o ângulo azimutal e pede a carga total Q dentro da esfera de raio r=5r0. Vamos usar a integral tripla em esféricas
Q=integral0^5r0!integral0^pi!integral0^2pirho(r,phi);r^2sintheta;dphi,dtheta,dr

Passo 2

Substituindo rho(r,phi) e o elemento de volume dV=r^2sintheta,dr,dtheta,dphi temos
Q=integral0^5r0!integral0^pi!integral0^2pi rho0,e^-r/r0;cos^2phi(r/r0)^2;r^2sintheta ,dphi,dtheta,dr

Passo 3

Note que r^2(r/r0)^2=r0^2, de modo que o integrando fica constante em r e dependente só de fatores separados:
Q =rho0,r0^2 integral0^5r0e^-r/r0,dr integral0^pisintheta,dtheta integral0^2picos^2phi,dphi

Passo 4

Calculamos as integrais angulares:
integral0^pisintheta,dtheta=2, integral0^2picos^2phi,dphi=pi
(portanto o produto é 2pi).

Passo 5

Para a parte radial fazemos u=r/r0, dr=r0du, de 0 a 5:
integral0^5r0e^-r/r0,dr =r0integral0^5e^-u,du =r0l[1-e^-5r]
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Q=2pi,rho0,r0^3,l(1-e^-5r)

Passo 6

Agora substituímos rho0=2times10^-10,C/m^2 e r0=0,20,m:
r0^3=(0,20)^3=8,0times10^-3,m^3,
2pi,rho0,r0^3approx2pitimes2times10^-10times8,0times10^-3 approx1,0053times10^-11,C
Multiplicando por l(1-e^-5r)approx0,9933
Qapprox9,99times10^-12,C=9,99,pC

Resposta

e) 9,99 pC

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