Calcule a massa de um arame cuja forma é dada pela curva interseção da porção da esfera
, situada no primeiro octante com o plano
, supondo que a densidade em um ponto P é proporcional ao quadrado da distância de P à origem.
Passo 1
O enunciado pede a massa de um arame que é a curva de interseção da esfera
com o plano
, tudo restrito ao primeiro octante. O conteúdo aqui é integral de linha com densidade variável, e vamos precisar usar parametrização da curva, fórmula de massa
e a relação
.
Passo 2
A densidade em um ponto
é dada por
, onde
é a constante de proporcionalidade. Como a esfera satisfaz
, temos
. Logo, ao longo da curva surge
.
Passo 3
Para parametrizar a curva, notamos que em
a esfera vira
. Fazendo o completo de quadrado:
. Isso é uma elipse no plano
. Usamos a parametrização
com
, de modo que
.
Passo 4
Calculamos o diferencial de arco. Da parametrização:
e
Então
.
Passo 5
Agora montamos a integral de massa:
Como
, obtemos
Passo 6
Assim concluímos que a massa do arame é proporcional a
e vale
.