Calcule a massa de um arame cuja forma é dada pela curva interseção da porção da esfera x^2+y^2+z^2=2 y, situada no primeiro octante com o plano z=y, supondo que a densidade em um ponto P é proporcional ao quadrado da distância de P à origem.

Passo 1

O enunciado pede a massa de um arame que é a curva de interseção da esfera x^2+y^2+z^2=2y com o plano z=y, tudo restrito ao primeiro octante. O conteúdo aqui é integral de linha com densidade variável, e vamos precisar usar parametrização da curva, fórmula de massa M=integralCrho,ds e a relação rho(P)propto|OP|^2.

Passo 2

A densidade em um ponto P é dada por rho(P)=k,|OP|^2, onde k é a constante de proporcionalidade. Como a esfera satisfaz x^2+y^2+z^2=2y, temos |OP|^2=2y. Logo, ao longo da curva surge rho=2k,y.

Passo 3

Para parametrizar a curva, notamos que em z=y a esfera vira x^2+2y^2=2y. Fazendo o completo de quadrado: x^2+2(y-1/2)^2=1/2. Isso é uma elipse no plano z=y. Usamos a parametrização
x(theta)=tfrac1raiz2sintheta, y(theta)=tfrac1+costheta2, z(theta)=y(theta),
com thetain[0,pi], de modo que x,y,z>=0.

Passo 4

Calculamos o diferencial de arco. Da parametrização:
r'(theta)=l(tfrac1raiz2costheta, -tfrac12sintheta, -tfrac12sinthetar)
e
|r'(theta)|=raiztfrac12cos^2theta+tfrac14sin^2theta+tfrac14sin^2theta =tfrac1raiz2
Então ds=tfrac1raiz2dtheta.

Passo 5

Agora montamos a integral de massa:
M=integralCrho,ds=integral0^pi2k,y(theta)cdottfrac1raiz2,dtheta =tfrac2kraiz2integral0^pitfrac1+costheta2,dtheta
Como integral0^pi(1+costheta)dtheta=pi, obtemos
M=tfrac2kraiz2cdottfracpi2=tfrackpiraiz22

Passo 6

Assim concluímos que a massa do arame é proporcional a k e vale tfrackpiraiz22.

Resposta

M=dfrack,pi,raiz22, onde k é a constante de proporcionalidade da densidade.

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