Calcule a primeira coordenada do centro de massa de um fio homogêneo que está ao longo de uma curva gamma(t)=t i+2 raiz25 t^5 / 2 j+t^44 k, 0 <= t <= 2, se a densidade for de.

Passo 1

O enunciado pede a primeira coordenada do centro de massa de um fio ao longo da curva gamma(t)=t,i+2raiz25t^5/2,j+t^44,k, 0<= t<=2, com densidade de. O conteúdo envolvido é o cálculo de centro de massa de uma curva com densidade variável, para o qual precisamos das fórmulas
M=integralgammade

Passo 2

Primeiro vamos achar ds. Derivando gamma(t):
gamma'(t)=l(1,,tfrac2raiz25cdottfrac52t^3/2,,t^3r)=(1,,raiz2t^3/2,,t^3)
Então
|gamma'(t)|=raiz1+2t^3+t^6=t^3+1,
logo ds=(t^3+1),dt.

Passo 3

Agora calculamos a massa total
M=integral0^2de
Fazendo a integral:
10l[tfract^55+tfract^22r]0^2 =10l(tfrac325+2r)=84

Passo 4

Em seguida, o numerador para xcm é
integralgamma x,de
Integrando:
10l[tfract^66+tfract^33r]0^2 =10l(tfrac646+tfrac83r)=4003

Passo 5

Por fim, a coordenada xcm é
xcm=1Mintegralgamma x,de

Resposta

dfrac10063

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