5 Calcule a massa de um arame fino com o formato da hélice parametrizada por
,
se a densidade é dada por
, com
.
Resp.
.
se a densidade é dada por
Passo 1
O enunciado pede a massa de um arame fino que tem formato de hélice com parametrização
e densidade pontual
O conteúdo aqui é cálculo de integral de linha para massa:
Vamos usar a parametrização para reescrever essa integral em termos de
.
Passo 2
Pela definição de massa de uma fita de densidade
ao longo de uma curva parametrizada, temos
Passo 3
Calcular
de<a(alpha(t)) . Como
alpha(t)=(x,y,z)=(3cos t,3sin t,4t) ,
Passo 4
Calcular
alpha'(t) e sua norma.
então
Passo 5
Substituindo em
m=integral0^pi2de<a(alpha(t))|alpha'(t)|,dt , obtemos
Passo 6
Fazemos a mudança de variável
u=sin t . Então
du=cos t,dt . Quando
t=0 ,
u=0 ; quando
t=tfracpi2 ,
u=1 . A integral vira
Passo 7
Reconhecemos a primitiv a de
11+9u^2 como
13arctan(3u) . Logo,