5 Calcule a massa de um arame fino com o formato da hélice parametrizada por
alpha:[0, pi2] R^3, alpha(t)=(3 cos t, 3 sin t, 4 t),
se a densidade é dada por de<a(x, y, z)=k x1+y^2, com k>0.
Resp. 5 k arctan (3).

Passo 1

O enunciado pede a massa de um arame fino que tem formato de hélice com parametrização
alphacolon[0,tfracpi2]toR^3, alpha(t)=(3cos t,;3sin t,;4t),
e densidade pontual
de<a(x,y,z)=k,x1+y^2, k>0
O conteúdo aqui é cálculo de integral de linha para massa:
m=integralCde<a(x,y,z),ds
Vamos usar a parametrização para reescrever essa integral em termos de t.

Passo 2

Pela definição de massa de uma fita de densidade de<a ao longo de uma curva parametrizada, temos
m=integralCde<a(x,y,z),ds =integral0^pi2de<al(alpha(t)r),l|alpha'(t)r|,dt

Passo 3

Calcular de<a(alpha(t)). Como alpha(t)=(x,y,z)=(3cos t,3sin t,4t),
de<al(alpha(t)r) =k,(3cos t)1+(3sin t)^2 =3kcos t1+9sin^2 t

Passo 4

Calcular alpha'(t) e sua norma.
alpha'(t)=(-3sin t,;3cos t,;4),
então
l|alpha'(t)r| =raiz(-3sin t)^2+(3cos t)^2+4^2 =raiz9(sin^2t+cos^2t)+16 =raiz9+16 =5

Passo 5

Substituindo em m=integral0^pi2de<a(alpha(t))|alpha'(t)|,dt, obtemos
m =integral0^pi23kcos t1+9sin^2 tcdot5,dt =15kintegral0^pi2cos t1+9sin^2 t,dt

Passo 6

Fazemos a mudança de variável u=sin t. Então du=cos t,dt. Quando t=0, u=0; quando t=tfracpi2, u=1. A integral vira
m =15kintegralu=0^111+9u^2,du

Passo 7

Reconhecemos a primitiv a de 11+9u^2 como 13arctan(3u). Logo,
m =15kcdotgl[13arctan(3u)gr]0^1 =5kl(arctan(3)-arctan(0)r) =5karctan(3)

Resposta

5karctan(3)

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