integral exp (2 x) d x2+exp (2 x)

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
integral exp(2x)2+exp(2x),dx
O conteúdo aqui é integração por substituição, pois no numerador aparece a derivada (até constante) da função que está no denominador.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 2 + exp(2x),
de onde
du = 2,exp(2x),dx Longrightarrow exp(2x),dx = du2

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
integral exp(2x)2+exp(2x),dx = integral 1u,du2 = 12integral duu

Passo 4

A integral de 1/u é ln|u|, então
12integral duu = 12lnl|ur| + C

Passo 5

Voltando à variável x, como u = 2+exp(2x) e 2+exp(2x)>0, podemos tirar o valor absoluto:
integral exp(2x)2+exp(2x),dx = 12lnl(2+exp(2x)r) + C

Resposta

12lnl(2+exp(2x)r) + C

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