integral (a^x-b^x)^2a^x b^x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral l(a^x-b^xr)^2a^x,b^x ,dx
Aqui vamos usar álgebra elementar para simplificar o integrando e depois integrar termos da forma alpha^x.

Passo 2

Primeiro expandimos o quadrado no numerador e dividimos por a^xb^x:
l(a^x-b^xr)^2a^xb^x =a^2x-2,a^xb^x+b^2xa^xb^x =a^2xa^xb^x-2+b^2xa^xb^x =a^xb^x-2+b^xa^x

Passo 3

Reconhecemos potências com base constante:
a^xb^x=l(tfracabr)^x, b^xa^x=l(tfracbar)^x
Logo a integral vira
integrall((tfracab)^x-2+(tfracba)^xr),dx

Passo 4

Integramos termo a termo usando
integral k^xdx = k^xln k (para k>0, kneq1) e integral -2,dx=-2x:
integral (tfracab)^xdx = (tfracab)^xln(tfracab), integral -2,dx=-2x, integral (tfracba)^xdx=(tfracba)^xln(tfracba)

Passo 5

Somando os resultados e observando que ln(tfracba)=-ln(tfracab), obtemos
F(x) =l(tfracabr)^xln(tfracab) -2x +l(tfracbar)^xln(tfracba) +C =(tfracab)^x-(tfracba)^xln(tfracab)-2x+C

Resposta

boxed,integral (a^x-b^x)^2a^xb^x,dx =l(tfracabr)^x-l(tfracbar)^xln!l(tfracabr) -2x+C

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