Determine o centro de massa do hemisfério x^2+y^2+z^2 <= R^2, z >= 0, se a densidade em um ponto (x, y, z) do hemisfério é sigma(x, y, z)=z.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o centro de massa de um hemisfério definido por $ x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq R^{2} $ e $ z \geq 0 $. A densidade em cada ponto x^2 + y^2 + z^2 <= R^2 desse hemisfério é dada por $ \sigma(x, y, z) = z $.
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de centro de massa em geometria tridimensional. Vamos precisar entender como integrar funções de densidade sobre volumes em coordenadas esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o centro de massa (x, y, z) de um objeto é dado por:
x = 1M integral x , sigma(x, y, z) , dV
y = 1M integral y , sigma(x, y, z) , dV
z = 1M integral z , sigma(x, y, z) , dV
Onde $ M $ é a massa total, calculada por:
M
Como nosso hemisfério é simétrico em relação aos eixos M = integral sigma(x, y, z) , dV e x, e a densidade depende apenas de y, sabemos que z e x serão zero por simetria. Então, só precisamos calcular y.

Passo 3

Vamos mudar para coordenadas esféricas para facilitar a integração. Nas coordenadas esféricas:
x = rho sin phi cos theta
y = rho sin phi sin theta
z = rho cos phi
dV = rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta
Como nosso hemisfério tem z >= 0, o ângulo phi vai de 0 a pi2, theta vai de 0 a 2pi, e rho vai de 0 a R.

Passo 4

Vamos calcular a massa total $ M $:
M
Simplificando:
M = integral sigma(x, y, z) , dV = integral z , dV = integral rho cos phi cdot rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta

Passo 5

Vamos integrar em ordem: primeiro em rho, depois phi, e por último theta.
Integração em rho:
integral0^R rho^3 , drho = [ rho^44 ]0^R = R^44

Passo 6

Agora, integraremos em phi:
integral0^pi2 cos phi sin phi , dphi
Podemos usar a substituição $ u = \sin \phi $, $ du = \cos \phi , d\phi $:
u = sin phi

Passo 7

Por último, integraremos em theta:
integral0^2pi dtheta = 2pi

Passo 8

Agora, multiplicando todas as integrais:
M = R^44 times 12 times 2pi = R^44 times pi = pi R^44

Passo 9

Agora, vamos calcular o numerador para z:
integral z cdot sigma(x, y, z) , dV = integral z^2 , dV
Em coordenadas esféricas:
z = rho cos phi
z^2 = rho^2 cos^2 phi
Então,
integral z^2 , dV = integral rho^2 cos^2 phi cdot rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta = integral0^2pi integral0^pi2 integral0^R rho^4 cos^2 phi sin phi , drho , dphi , dtheta

Passo 10

Vamos integrar em ordem novamente.
Integração em rho:
integral0^R rho^4 , drho = [ rho^55 ]0^R = R^55

Passo 11

Integração em phi:
integral0^pi2 cos^2 phi sin phi , dphi
Fazemos a substituição $ u = \cos \phi $, $ du = -\sin \phi , d\phi $:
u = cos phi

Passo 12

Integração em theta:
integral0^2pi dtheta = 2pi

Passo 13

Multiplicando todas as integrais:
integral z^2 , dV = R^55 times 13 times 2pi = 2pi R^515

Passo 14

Agora, podemos calcular z:
z = 1M integral z^2 , dV = 2pi R^515pi R^44 = 2 R15 times 41 = 8 R15

Resposta

O centro de massa do hemisfério é (0, 0, 8R15).

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