Calcule a massa da chapa plana limitada pela curva
e as retas
e
, sabendo que a densidade num ponto qualquer da chapa é proporcional ao quadrado da sua distância ao eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a gente precisa fazer aqui! Temos que calcular a massa de uma chapa plana que está limitada pela curva
e pelas retas
,
e
. A parada é que a densidade em cada ponto dessa chapa não é sempre a mesma; ela varia e é proporcional ao quadrado da distância desse ponto até o eixo
. Ou seja, precisamos usar conceitos de cálculo, especificamente integrais duplas, pra encontrar essa massa total.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a densidade varia na chapa. A distância de qualquer ponto
até o eixo
é simplesmente
. Como a densidade é proporcional ao quadrado dessa distância, podemos escrever a densidade
como:
onde
é a constante de proporcionalidade. Para simplificar, podemos considerar
, já que a constante vai se cancelar no cálculo da massa total.
Passo 3
Agora, precisamos definir os limites de integração para calcular a massa. A massa
de uma chapa com densidade variável é dada por:
onde
é a região delimitada na chapa. Vamos identificar essa região:
- A curva
pode ser reescrita como . - As retas verticais são
e . - A reta horizontal é
.
Então, para
variando de 1 a 4,
varia de 0 até
.
Passo 4
Com os limites definidos, podemos montar a integral dupla para a massa:
Vamos primeiro integrar em relação a
, mantendo
fixo.
Passo 5
Calculando a integral interna (em
):
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa (em
):
Passo 7
Vamos calcular essa última integral:
Resposta
A massa da chapa é igual a 30 unidades de massa.