Calcule a soma da série dada. sumk=0^+infty(12)^k

Passo 1

Vamos resolver o problema de calcular a soma da série infinita sumk=0^+infty(12)^k. Esse exercício envolve o estudo de séries geométricas, que são somas de termos que formam uma progressão geométrica. Para resolver isso, vamos precisar entender a fórmula da soma de uma série geométrica infinita.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os elementos da série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral:
sumk=0^+infty ar^k
onde:
  • sumk=0^+infty(12)^k é o primeiro termo da série,
  • é a razão da série (o fator constante entre um termo e o próximo).
No nosso caso, a série é:
Aqui, e .

Passo 3

Para que a soma de uma série geométrica infinita exista, a razão S = a1 - r deve satisfazer a condição . No nosso caso, , que é menor que 1, então a série converge e podemos calcular sua soma usando a fórmula:

Passo 4

Substituindo os valores que encontramos na fórmula:
S = 11 - 12 = 112 = 2

Resposta

A soma da série é 2.

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