Calcule a massa do cilindro
, sabendo que a densidade no ponto
é o triplo da distância do ponto ao plano
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a massa de um cilindro definido por
e
. A densidade em cada ponto
é três vezes a distância desse ponto ao plano
. Para resolver isso, vamos precisar da matéria de cálculo de integrais múltiplas, especialmente em coordenadas cilíndricas, e entender como a densidade varia dentro do cilindro.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a densidade. A distância de um ponto
ao plano
é simplesmente o valor de
, já que estamos medindo verticalmente. Então, a densidade
é três vezes essa distância:
Passo 3
Agora, para encontrar a massa, precisamos integrar a densidade sobre todo o volume do cilindro. A fórmula geral para a massa
é:
Onde
é o volume do cilindro.
Passo 4
Como estamos lidando com um cilindro, é mais fácil usar coordenadas cilíndricas
. Nessa coordenada:
E o elemento de volume
em coordenadas cilíndricas é:
Passo 5
Vamos determinar os limites de integração. No cilindro
, isso se traduz para
, ou seja,
. O ângulo
completa uma volta completa, então
. E
varia de
a
.
Passo 6
Substituindo a densidade e os limites de integração na fórmula da massa, temos:
Passo 7
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 8
Agora, integramos em relação a
:
Passo 9
Por fim, integramos em relação a
:
Resposta
A massa do cilindro é
.