Calcule a massa do cilindro x^2+y^2 <= e 0 <= z <= 3, sabendo que a densidade no ponto (x, y, z) é o triplo da distância do ponto ao plano z=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a massa de um cilindro definido por x^2 + y^2 <= e e 0 <= z <= 3. A densidade em cada ponto (x, y, z) é três vezes a distância desse ponto ao plano z=0. Para resolver isso, vamos precisar da matéria de cálculo de integrais múltiplas, especialmente em coordenadas cilíndricas, e entender como a densidade varia dentro do cilindro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a densidade. A distância de um ponto (x, y, z) ao plano z=0 é simplesmente o valor de z, já que estamos medindo verticalmente. Então, a densidade rho(x, y, z) é três vezes essa distância:
rho(x, y, z) = 3z

Passo 3

Agora, para encontrar a massa, precisamos integrar a densidade sobre todo o volume do cilindro. A fórmula geral para a massa M é:
M = integral triplaV rho(x, y, z) , dV
Onde V é o volume do cilindro.

Passo 4

Como estamos lidando com um cilindro, é mais fácil usar coordenadas cilíndricas (r, theta, z). Nessa coordenada:
x = r costheta, y = r sintheta, z = z
E o elemento de volume dV em coordenadas cilíndricas é:
dV = r , dr , dtheta , dz

Passo 5

Vamos determinar os limites de integração. No cilindro x^2 + y^2 <= e, isso se traduz para r^2 <= e, ou seja, 0 <= r <= raize. O ângulo theta completa uma volta completa, então 0 <= theta <= 2pi. E z varia de 0 a 3.

Passo 6

Substituindo a densidade e os limites de integração na fórmula da massa, temos:
M = integral0^2pi integral0^raize integral0^3 3z cdot r , dz , dr , dtheta

Passo 7

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a z:
integral0^3 3z cdot r , dz = 3r integral0^3 z , dz = 3r [ z^22 ]0^3 = 3r ( 92 ) = 272 r

Passo 8

Agora, integramos em relação a r:
integral0^raize 272 r , dr = 272 integral0^raize r , dr = 272 [ r^22 ]0^raize = 272 cdot e2 = 27e4

Passo 9

Por fim, integramos em relação a theta:
integral0^2pi 27e4 , dtheta = 27e4 cdot 2pi = 27epi2

Resposta

A massa do cilindro é 27 e pi2.

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