Inverta a ordem de integração na integral dupla:
integral0^1 integralx^2^5 f(x, y) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para inverter a ordem de integração na integral dupla integral0^1 integralx^2^5 f(x, y) , dy , dx. Estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, precisamos entender como os limites de integração estão definidos e reorganizá-los para mudar a ordem de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração no plano xy. Temos que x varia de 0 a 1, e para cada valor de x, y varia de x^2 a 5. Isso significa que estamos olhando para a área onde 0 <= x <= 1 e x^2 <= y <= 5.

Passo 3

Agora, para inverter a ordem de integração, queremos que y seja a primeira variável a ser integrada. Então, precisamos determinar os novos limites para y e, para cada y, os limites correspondentes para x.

Passo 4

Observando a região definida, o menor valor de y ocorre quando x=0, ou seja, y=0^2=0. O maior valor de y é 5. Portanto, y varia de 0 a 5.

Passo 5

Para cada valor de y, precisamos encontrar os limites de x. A condição x^2 <= y implica que x <= raizy. Como x também varia de 0 a 1, o limite superior de x será o menor valor entre 1 e raizy. Porém, como y vai até 5, para y >= 1, raizy >= 1, então x vai de 0 a 1 quando y >= 1. Já para 0 <= y <= 1, x vai de 0 a raizy.

Passo 6

Então, dividimos a integral em duas partes:
  1. Para 0 <= y <= 1, x varia de 0 a raizy.
  2. Para 1 <= y <= 5, x varia de 0 a 1.

Passo 7

Com isso, a integral invertida fica:
integral0^1 integral0^raizy f(x, y) , dx , dy + integral1^5 integral0^1 f(x, y) , dx , dy

Resposta

A integral dupla com a ordem de integração invertida é:
integral0^1 integral0^raizy f(x, y) , dx , dy + integral1^5 integral0^1 f(x, y) , dx , dy

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