Inverta a ordem de integração na integral dupla:
…
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para inverter a ordem de integração na integral dupla
. Estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, precisamos entender como os limites de integração estão definidos e reorganizá-los para mudar a ordem de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração no plano xy. Temos que
varia de 0 a 1, e para cada valor de
,
varia de
a 5. Isso significa que estamos olhando para a área onde
e
.
Passo 3
Agora, para inverter a ordem de integração, queremos que
seja a primeira variável a ser integrada. Então, precisamos determinar os novos limites para
e, para cada
, os limites correspondentes para
.
Passo 4
Observando a região definida, o menor valor de
ocorre quando
, ou seja,
. O maior valor de
é 5. Portanto,
varia de 0 a 5.
Passo 5
Para cada valor de
, precisamos encontrar os limites de
. A condição
implica que
. Como
também varia de 0 a 1, o limite superior de
será o menor valor entre 1 e
. Porém, como
vai até 5, para
,
, então
vai de 0 a 1 quando
. Já para
,
vai de 0 a
.
Passo 6
Então, dividimos a integral em duas partes:
- Para
, varia de 0 a . - Para
, varia de 0 a 1.
Passo 7
Com isso, a integral invertida fica:
Resposta
A integral dupla com a ordem de integração invertida é: