Questão 4 (2,0 pontos) O valor médio
de uma função
em uma região sólida
se define como a integral
Calcule o valor médio de
na esfera sólida
. Indicação: o volume da esfera de raio
é igual a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o valor médio de uma função
dentro de uma esfera sólida
definida por
. Para resolver isso, vamos usar cálculos de integrais em três dimensões e entender como calcular volumes de figuras geométricas, como a esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula para o valor médio de uma função
em uma região sólida
. Ela é dada por:
Aqui,
é o volume da região
, que no nosso caso é a esfera de raio 1.
Passo 3
Sabemos que o volume de uma esfera de raio
é:
Como o raio
, o volume da nossa esfera
fica:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a integral tripla
. Para facilitar esse cálculo, vamos usar coordenadas esféricas, já que estamos lidando com uma esfera.
Passo 5
Nas coordenadas esféricas, as variáveis são
(distância ao centro),
(ângulo polar) e
(ângulo azimutal). A função
simplifica para
. Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Passo 6
Substituindo tudo na integral, temos:
Passo 7
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, a integração em relação a
:
Passo 8
Em seguida, integramos em relação a
:
Passo 9
Por último, integramos em relação a
:
Passo 10
Multiplicando todas as partes:
Passo 11
Agora, substituímos na fórmula do valor médio:
Resposta
O valor médio de
na esfera sólida
é
.