Questão 4 (2,0 pontos) O valor médio m(f, W) de uma função f(x, y, z) em uma região sólida W subset R^3 se define como a integral
m(f, W)=1V(W) integral triplaW f(x, y, z) d x d y d z
Calcule o valor médio de f(x, y, z)=raizx^2+y^2+z^2 na esfera sólida W=x^2+y^2+z^2 <= 1. Indicação: o volume da esfera de raio r é igual a 43 pi r^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o valor médio de uma função dentro de uma esfera sólida definida por . Para resolver isso, vamos usar cálculos de integrais em três dimensões e entender como calcular volumes de figuras geométricas, como a esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula para o valor médio de uma função m(f, W) = 1V(W) integral triplaW f(x, y, z) , dx , dy , dz em uma região sólida . Ela é dada por:
Aqui, é o volume da região , que no nosso caso é a esfera de raio 1.

Passo 3

Sabemos que o volume de uma esfera de raio V = 43 pi r^3 é:
V(W) = 43 pi times 1^3 = 43pi
Como o raio , o volume da nossa esfera fica:

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral tripla . Para facilitar esse cálculo, vamos usar coordenadas esféricas, já que estamos lidando com uma esfera.

Passo 5

Nas coordenadas esféricas, as variáveis são dV = r^2 sin(theta) , dr , dtheta , dphi (distância ao centro), (ângulo polar) e (ângulo azimutal). A função simplifica para . Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é:

Passo 6

Substituindo tudo na integral, temos:
integral triplaW f(x, y, z) , dx , dy , dz = integral0^2pi integral0^pi integral0^1 r cdot r^2 sin(theta) , dr , dtheta , dphi = integral0^2pi integral0^pi integral0^1 r^3 sin(theta) , dr , dtheta , dphi

Passo 7

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, a integração em relação a integral0^1 r^3 , dr = [ r^44 ]0^1 = 14 :

Passo 8

Em seguida, integramos em relação a integral0^pi sin(theta) , dtheta = [ -cos(theta) ]0^pi = -cos(pi) + cos(0) = 2 :

Passo 9

Por último, integramos em relação a integral0^2pi dphi = 2pi :

Passo 10

Multiplicando todas as partes:
14 times 2 times 2pi = pi

Passo 11

Agora, substituímos na fórmula do valor médio:
m(f, W) = 143pi times pi = 34

Resposta

O valor médio de na esfera sólida é .

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