Calcule
Calcule o momento de inércia \left(I=\iiint_{B} r^{2} d m\right) de um sólido homogênio com a forma de um cone circular reto de altura h e raio da base R, em relação a um eixo passando pelo vértice e perpendicular ao eixo do cone.
Passo 1
O enunciado dá um cone circular reto, homogêneo, de altura h e raio da base R. Pede-se o momento de inércia
I=\iiint_{B} r^{2}\,dm
do sólido inteiro em relação a um eixo que passa pelo vértice do cone e é perpendicular ao eixo do cone. Informações relevantes que temos:
Geometria: cone reto com vértice em um extremo, altura h e raio da base R.
O sólido é homogêneo, então a massa volumétrica (densidade) é constante. Vou chamar a massa total do cone de M (não foi dada no enunciado, então a resposta ficará em função de M).
O eixo de rotação passa pelo vértice e é perpendicular ao eixo do cone (ou seja, se o eixo do cone for vertical, o eixo de rotação é um eixo horizontal que atravessa o vértice).
Precisamos expressar r^{2} como o quadrado da distância de um ponto qualquer do cone até esse eixo de rotação e integrar sobre todo o volume do cone, multiplicado pela densidade constante.
Passo 2
Escolha de sistema de coordenadas (muito importante para integrar com clareza). Posso colocar o vértice do cone na origem e o eixo do cone ao longo do eixo z, com a base no plano z=h. Assim:
Vértice: (0,0,0).
Eixo do cone: eixo z, base no z=h.
Usarei coordenadas cilíndricas \left(\rho,\varphi,z\right) porque o cone tem simetria circular. Lembrando as relações:
A superfície lateral do cone dá a relação entre \rho e z: o raio varia linearmente de 0 (no vértice, z=0) até R (em z=h). Logo, para um dado z,
0\le \rho \le \frac{R}{h}\,z.
Passo 3
Determinar a expressão de r^{2} (quadrado da distância até o eixo de rotação) no sistema escolhido. O enunciado pede o eixo que passa pelo vértice e é perpendicular ao eixo do cone; escolhemos esse eixo como o eixo x (qualquer eixo horizontal funcionando assim daria o mesmo resultado por simetria). A distância de um ponto (x,y,z) ao eixo x é a distância ao eixo paralelo ao x que passa pela origem, ou seja
r^{2}=y^{2}+z^{2}.
Em coordenadas cilíndricas y=\rho\sin\varphi, então
Observe que na segunda parcela aparece z^{2} (do integrando original) multiplicando \frac{R^{2}}{2h^{2}}z^{2}, resultando em z^{4} também. Simplificando os coeficientes:
Pequeno comentário de verificação: as unidades conferem (massa vezes comprimento ao quadrado). Para h muito grande o termo em h^{2} domina, o que faz sentido porque pontos distantes ao eixo horizontal contribuem muito ao momento de inércia.