Calcule
Calcule o momento de inércia \left(I=\iiint_{B} r^{2} d m\right) de um sólido homogênio com a forma de um cone circular reto de altura h e raio da base R, em relação a um eixo passando pelo vértice e perpendicular ao eixo do cone.

Passo 1

O enunciado dá um cone circular reto, homogêneo, de altura h e raio da base R. Pede-se o momento de inércia
I=\iiint_{B} r^{2}\,dm
do sólido inteiro em relação a um eixo que passa pelo vértice do cone e é perpendicular ao eixo do cone. Informações relevantes que temos:
  • Geometria: cone reto com vértice em um extremo, altura h e raio da base R.
  • O sólido é homogêneo, então a massa volumétrica (densidade) é constante. Vou chamar a massa total do cone de M (não foi dada no enunciado, então a resposta ficará em função de M).
  • O eixo de rotação passa pelo vértice e é perpendicular ao eixo do cone (ou seja, se o eixo do cone for vertical, o eixo de rotação é um eixo horizontal que atravessa o vértice).
  • Precisamos expressar r^{2} como o quadrado da distância de um ponto qualquer do cone até esse eixo de rotação e integrar sobre todo o volume do cone, multiplicado pela densidade constante.

Passo 2

Escolha de sistema de coordenadas (muito importante para integrar com clareza). Posso colocar o vértice do cone na origem e o eixo do cone ao longo do eixo z, com a base no plano z=h. Assim:
  • Vértice: (0,0,0).
  • Eixo do cone: eixo z, base no z=h.
    Usarei coordenadas cilíndricas \left(\rho,\varphi,z\right) porque o cone tem simetria circular. Lembrando as relações:
x=\rho\cos\varphi,\qquad y=\rho\sin\varphi,\qquad z=z,
e o elemento de volume é
dV=\rho\,d\rho\,d\varphi\,dz.
A superfície lateral do cone dá a relação entre \rho e z: o raio varia linearmente de 0 (no vértice, z=0) até R (em z=h). Logo, para um dado z,
0\le \rho \le \frac{R}{h}\,z.

Passo 3

Determinar a expressão de r^{2} (quadrado da distância até o eixo de rotação) no sistema escolhido. O enunciado pede o eixo que passa pelo vértice e é perpendicular ao eixo do cone; escolhemos esse eixo como o eixo x (qualquer eixo horizontal funcionando assim daria o mesmo resultado por simetria). A distância de um ponto (x,y,z) ao eixo x é a distância ao eixo paralelo ao x que passa pela origem, ou seja
r^{2}=y^{2}+z^{2}.
Em coordenadas cilíndricas y=\rho\sin\varphi, então
r^{2}=(\rho\sin\varphi)^{2}+z^{2}=\rho^{2}\sin^{2}\varphi+z^{2}.

Passo 4

Determinar a densidade volumétrica constante. Volume do cone:
V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h.
Como o sólido é homogêneo e tem massa total M, a densidade volumétrica (massa por volume) é
\delta=\frac{M}{V}=\frac{3M}{\pi R^{2}h}.
Então dm=\delta\,dV.

Passo 5

Escrever a integral tripla para I em coordenadas cilíndricas, com os limites indicados:
I=\iiint_{B} r^{2}\,dm = \delta \int_{z=0}^{h}\int_{\varphi=0}^{2\pi}\int_{\rho=0}^{\frac{R}{h}z}\bigl(\rho^{2}\sin^{2}\varphi+z^{2}\bigr)\,\rho\,d\rho\,d\varphi\,dz.
Note que o \rho extra vem de dV=\rho\,d\rho\,d\varphi\,dz.

Passo 6

Separar a integral em duas parcelas (uma com \rho^{2}\sin^{2}\varphi e outra com z^{2}):
I=\delta\left[ \int_{0}^{h}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\frac{R}{h}z}\rho^{3}\sin^{2}\varphi\,d\rho\,d\varphi\,dz + \int_{0}^{h}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\frac{R}{h}z} z^{2}\rho\,d\rho\,d\varphi\,dz \right].

Passo 7

Calcular a integral em \varphi que aparece na primeira parcela:
\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\varphi\,d\varphi=\pi,
pois \sin^{2}\varphi tem valor médio 1/2 no período 2\pi, logo (1/2)\cdot 2\pi=\pi. Na segunda parcela, a integral em \varphi é simplesmente
\int_{0}^{2\pi} d\varphi=2\pi.

Passo 8

Calcular as integrais em \rho. Para a primeira parcela:
\int_{0}^{\frac{R}{h}z}\rho^{3}\,d\rho=\left.\frac{\rho^{4}}{4}\right|_{0}^{\frac{R}{h}z}=\frac{1}{4}\left(\frac{R}{h}z\right)^{4}=\frac{R^{4}}{4h^{4}}\,z^{4}.
Para a segunda parcela:
\int_{0}^{\frac{R}{h}z}\rho\,d\rho=\left.\frac{\rho^{2}}{2}\right|_{0}^{\frac{R}{h}z}=\frac{1}{2}\left(\frac{R}{h}z\right)^{2}=\frac{R^{2}}{2h^{2}}\,z^{2}.

Passo 9

Substituir os resultados anteriores nas integrais em z. Temos
I=\delta\left[ \int_{0}^{h}\pi\cdot\frac{R^{4}}{4h^{4}}\,z^{4}\,dz + \int_{0}^{h}2\pi\cdot z^{2}\cdot\frac{R^{2}}{2h^{2}}\,z^{2}\,dz \right].
Observe que na segunda parcela aparece z^{2} (do integrando original) multiplicando \frac{R^{2}}{2h^{2}}z^{2}, resultando em z^{4} também. Simplificando os coeficientes:
I=\delta\left[ \pi\frac{R^{4}}{4h^{4}}\int_{0}^{h}z^{4}\,dz + \pi\frac{R^{2}}{h^{2}}\int_{0}^{h}z^{4}\,dz \right].

Passo 10

Calcular \int_{0}^{h}z^{4}\,dz:
\int_{0}^{h}z^{4}\,dz=\left.\frac{z^{5}}{5}\right|_{0}^{h}=\frac{h^{5}}{5}.
Logo as parcelas viram:
\pi\frac{R^{4}}{4h^{4}}\cdot\frac{h^{5}}{5}=\pi\frac{R^{4}h}{20}, \qquad \pi\frac{R^{2}}{h^{2}}\cdot\frac{h^{5}}{5}=\pi\frac{R^{2}h^{3}}{5}.
Somando,
I=\delta\left(\pi\frac{R^{4}h}{20}+\pi\frac{R^{2}h^{3}}{5}\right) =\delta\,\pi\left(\frac{R^{4}h}{20}+\frac{R^{2}h^{3}}{5}\right).

Passo 11

Substituir a densidade \delta=\dfrac{3M}{\pi R^{2}h} e simplificar:
I=\frac{3M}{\pi R^{2}h}\cdot\pi\left(\frac{R^{4}h}{20}+\frac{R^{2}h^{3}}{5}\right) =3M\left(\frac{R^{4}h}{20R^{2}h}+\frac{R^{2}h^{3}}{5R^{2}h}\right).
Simplificando cada termo:
\frac{R^{4}h}{20R^{2}h}=\frac{R^{2}}{20},\qquad \frac{R^{2}h^{3}}{5R^{2}h}=\frac{h^{2}}{5}.
Portanto
I=3M\left(\frac{R^{2}}{20}+\frac{h^{2}}{5}\right).

Passo 12

Colocar em uma forma mais compacta somando as frações:
\frac{R^{2}}{20}+\frac{h^{2}}{5}=\frac{R^{2}}{20}+\frac{4h^{2}}{20}=\frac{R^{2}+4h^{2}}{20}.
Assim
I=\frac{3M}{20}\bigl(R^{2}+4h^{2}\bigr).
Pequeno comentário de verificação: as unidades conferem (massa vezes comprimento ao quadrado). Para h muito grande o termo em h^{2} domina, o que faz sentido porque pontos distantes ao eixo horizontal contribuem muito ao momento de inércia.

Resposta

I=\frac{3M}{20}\bigl(R^{2}+4h^{2}\bigr).

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